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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher - Taylor-Entwicklung

Taylor-Approximation

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Eine in einer Umgebung eines Punktes $ (a_1, \dots, a_m) (n+1)$-mal stetig differenzierbare skalare Funktion $ f$ von $ m$ Veränderlichen $ x_i$ kann durch ein Taylor-Polynom vom totalen Grad $ n$ approximiert werden:

$\displaystyle f(x) = \sum_{\vert\alpha\vert\le n} \frac{1}{\alpha!} \partial^\alpha f(a) (x-a)^\alpha + R\,,\quad \vert x-a\vert < r\,, $

mit $ \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_m!$.

Das Restglied hat die Form

$\displaystyle R = \sum_{\vert\alpha\vert=n+1} \frac{1}{\alpha!} \partial^\alpha f(u) (x-a)^\alpha \, , \quad u = a+\theta (x-a) \,, $

für ein $ \theta \in[0,1]$.

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Als Beispiel wird das Polynom

$\displaystyle f(x, y, z)=z^2-xy $

an der Stelle $ (0,-2,1)$ entwickelt. Die von Null verschiedenen Ableitungen sind

$\displaystyle f_x=-y\,, \; f_y=-x\,, \; f_z =2z\,, \; f_{xy}=-1\,, \;f_{zz}=2\,. $

Ausgewertet am Entwicklungspunkt erhält man nach Einsetzen in die Taylor-Darstellung

$\displaystyle 1+2x+(-0)(y+2)+2(z-1)+(-1)x(y+2)+\frac{1}{2}2(z-1)^2\,, $

was natürlich mit $ f$ übereinstimmt.

Alternativ läßt sich die Entwicklung auch durch Umformung gewinnen. Man substituiert

$\displaystyle y+2=\eta\,,\quad z-1=\zeta $

und erhält

$\displaystyle f(x, y, z)=(\zeta+1)^2-x(\eta-2) = \zeta^2++2\zeta+1-x\eta+2x\,. $

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  automatisch erstellt am 5.1.2017