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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher - Extremwerte

Extrema multivariater Funktionen

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Ist $ f(x_*)$ ein Minimum (Maximum) einer stetig differenzierbaren skalaren Funktion $ f$ auf einer Umgebung von $ x_*$ , so gilt

$\displaystyle \operatorname{grad}\,f(x_*) = 0\, . $

Eine hinreichende Bedingung ist, dass zusätzlich alle Eigenwerte der Hesse-Matrix im kritischen Punkt $ x_*$ positiv (negativ) sind.

Gibt es Eigenwerte mit verschiedenen Vorzeichen, so handelt es sich um einen Sattelpunkt, also kein lokales Extremum. Ist mindestens ein Eigenwert Null bei gleichen Vorzeichen der von Null verschiedenen Eigenwerte, so kann der Typ des kritischen Punktes $ x_*$ anhand der zweiten Ableitungen nicht klassifiziert werden.

Lokale Minima (Maxima) können auch an Randpunkten des Definitionsbereichs $ D$ auftreten. In diesen Fall muss die Richtungsableitung $ \partial_v f(x_*)$ für jede ins Innere von $ D$ zeigende Richtung $ v$ positiv (negativ) sein.

Eine globale Extremstelle einer skalaren Funktion $ f$ auf einer Menge $ D$ ist entweder ein kritischer Punkt (d. h.  $ \operatorname{grad}f = 0$ ), ein Randpunkt, oder eine Unstetigkeitsstelle einer partiellen Ableitung. Die globalen Minima und Maxima lassen sich also durch Vergleich der Funktionswerte an diesen Punkten ermitteln.

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{MO_global_Extremum_multivariat} \includegraphics[width=0.45\linewidth]{MO_global_Extremum_multivariat1}

Die Abbildung illustriert die verschiedenen Moglichkeiten. Dabei sind lokale Extrema durch Kreise und globale Extrema durch Punkte gekennzeichnet.

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Gesucht werden die globalen Extrema der Funktion

$\displaystyle f(x,y) = \cos x + \cos y + \cos(x+y)\, .$

Zunächst bemerkt man, dass $ f$ $ 2\pi$-periodisch bezüglich $ x$ und $ y$ ist und weiterhin $ f(y,x) = f(x,y) = f(-x,-y)$. Es genügt also, $ f$ im Bereich $ (-\pi,\pi] \times [0,\pi]$ zu untersuchen. Randpunkte und Unstetigkeitstellen von partiellen Ableitungen sind nicht zu berücksichtigen. Es müssen also nur die kritischen Punkte bestimmt werden.

Aus

$\displaystyle \operatorname{grad}\, f = \begin{pmatrix}-\sin x - \sin(x+y)\\ -\sin y - \sin(x+y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}$

folgt $ \sin x = - \sin(x+y) = \sin y$, also für $ y \in [0,\pi ]$ insbesondere $ x = y$ oder $ y=\pi-x$. Beide Möglichkeiten werden nun separat betrachtet.

(i) $ x = y$:
Aus

$\displaystyle \sin x=- \sin(2x) = -2\sin x \cos x$

ergeben sich im betrachteten Bereich die kritischen Punkte $ (0,0)$, $ (\pi,\pi)$ und $ (\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3})$.

(ii) $ y=\pi-x$:
Aus

$\displaystyle \sin(x)=- \sin(\pi)=0$

erhält man die kritischen Punkte $ (0,\pi)$ und $ (\pi,0)$.

\includegraphics[width=0.45\linewidth]{b_periodische1} \includegraphics[width=0.45\linewidth]{b_periodische2}

Durch Vergleich der Funktionswerte, die der Abbildung entnommen werden können, erkennt man, dass es sich bei $ (0,0)$ um ein globales Maximum mit Wert $ f(0,0)=3$ und bei $ \left(\frac{2 \pi}{3},\frac{2 \pi}{3}\right)$ um ein globales Minimum mit Wert $ f \left(\frac{2 \pi}{3},\frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{3}{2}$ handelt.

Der Typ der anderen kritischen Punkte kann mit Hilfe der Hesse Matrix

$\displaystyle \operatorname{H} f = \left( \begin{array}{cc} - \cos x- \cos(x+y) & -\cos(x+y)\\ - \cos(x+y) & -\cos y -\cos(x+y) \end{array} \right) $

bestimmt werden. Im Punkt $ (\pi,\pi)$ ist

$\displaystyle \operatorname{H} f = \left( \begin{array}{cc} 0 &-1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)\,. $

Da die Determinante negativ ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt. Die Punkte $ (\pi,0)$ und $ (0,\pi)$ enstsprechen sich aus Symmetriegründen. Die Hesse-Matrizen

$\displaystyle \operatorname{H} f = \left( \begin{array}{cc} 2 &1 \\ 1 & 0 \end... ...atorname{H} f = \left( \begin{array}{cc} 0 &1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)\,. $

haben ebenfalls negative Determinanten. Folglich handelt es sich auch um Sattelpunkte.

Insgesamt erhält man also die Punkte $ (2k\pi,2l\pi)$ ( $ k,l \in \mathbb{Z}$) als globale Maxima und die Punkte $ (\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\frac{2\pi}{3}+2l\pi)$ beziehungsweise $ (-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,-\frac{2\pi}{3}+2l\pi)$ als globale Minima.

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  automatisch erstellt am 5.1.2017