Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher-Extremwerte-Kritischer Punkt

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	Kritischer Punkt

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Für eine skalare Funktion

bezeichnet man

als kritischen Punkt, wenn grad $\,f(x)=0$ . Ist

zweimal stetig differenzierbar, so wird der Typ des kritischen Punktes, d.h. die Form des Funktionsgraphen in einer Umgebung von

, durch die Hesse-Matrix bestimmt. Je nach Vorzeichen der Eigenwerte $\lambda_i$ von $\operatorname{H} f(x)$ unterscheidet man zwischen

Flachpunkt: Alle Eigenwerte $\lambda_i$ sind Null.
elliptischer Punkt: Alle Eigenwerte $\lambda_i$ sind ungleich Null und haben das gleiche Vorzeichen. Die Funktion hat in diesem Fall ein lokales Extremum bei .
hyperbolischer Punkt: Es gibt Eigenwerte $\lambda_i$ mit verschiedenem Vorzeichen. Man bezeichnet auch als Sattelpunkt.
parabolischer Punkt: Mindestens ein Eigenwert $\lambda_i$ ist Null, und alle anderen Eigenwerte haben das gleiche Vorzeichen.

Die Bezeichnungen sind durch die Form der Höhenlinien im bivariaten Fall motiviert, wie dies in der Abbildung illustriert ist.

$\includegraphics[width=0.3\linewidth]{kritischer_punkt_elliptisch}$	$\includegraphics[width=0.3\linewidth]{kritischer_punkt_hyperbolisch}$	$\includegraphics[width=0.3\linewidth]{kritischer_punkt_parabolisch}$
elliptischer Punkt	hyperbolischer Punkt	parabolischer Punkt

Bei Funktionen in zwei Veränderlichen kann der Typ anhand der Determinante der Hesse-Matrix klassifiziert werden. Ist $\operatorname{det}(\operatorname{H}f) > 0$ (

), so handelt es sich um ein Extremum (einen Sattelpunkt). Für ein Minimum bzw. ein Maximum ist $\operatorname{Spur}(\operatorname{H}f)>0$ bzw.

. Verschwindet die Determinante und ist die Hesse-Matrix nicht Null, so ist der Punkt parabolisch.

Es werden die kritischen Punkte der Funktion

$\displaystyle f(x,y)=y(1-x^2-y^2)$

sowie deren Typ bestimmt.

Dazu werden zunächst Gradient und Hesse-Matrix gebildet:

$\displaystyle \operatorname{grad}f=\begin{pmatrix}-2xy\\ 1-x^2-3y^2\end{pmatrix},\quad \operatorname{H}f=\begin{pmatrix}-2y & -2x\\ -2x & -6y\end{pmatrix}\,.$

Aus der Bedingung $\operatorname{grad}f=(0,0)^$ t für kritische Punkte erhält man

$\displaystyle xy=0 \quad\land\quad x^2=1-3y^2$

und damit die kritischen Punkte

$\displaystyle (0,\pm 1/\sqrt{3}),\quad (\pm 1,0) \,.$

Die entsprechenden Hesse-Matrizen sind

$\displaystyle \begin{pmatrix} \mp 2/\sqrt{3} & 0\\ 0 & \mp 6/\sqrt{3} \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 & \mp 2\\ \mp 2 & 0 \end{pmatrix}\,.$

Zur Bestimmung des Typs werden Determinante und Spur gebildet.

$(x,y)=\left(0,\pm 1/\sqrt{3}\right)$ :

$\displaystyle \det(\operatorname{H}f)=4>0$ und $\displaystyle \quad \operatorname{Spur}(\operatorname{H}f)=\mp 8/\sqrt{3}$
$\implies$ besitzt ein lokales Minimum bei $(0,-1/\sqrt{3})$ und ein lokales Maximum bei $(0,1/\sqrt{3})$ .
$(x,y)=(\pm 1,0)$ :

$\displaystyle \det(\operatorname{H}f)=-4<0\,$
$\implies$ hat an diesen beiden Punkten Sattelpunkte.

Alternativ lässt sich der Typ der kritischen Punkte anhand der Nullstellenmenge von und der sich daraus ergebenden Vorzeichenverteilung bestimmen.

$\includegraphics[width=0.7\linewidth]{vorzeichenverteilung_kreis_xachse}$

$\displaystyle f(x,y)=0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad y=0 \quad \vee \quad x^2+y^2=1$

Sattelpunkte von

sind die Schnittpunkte der Nullstellenmenge mit Vorzeichenwechsel von

. Lokale Extrema befinden sich in von der Nullstellenmenge eingeschlossenen beschränkten Bereichen. Ist

in einem solchen Bereich positiv, muss dort mindestens ein Maximum existieren, andernfalls mindestens ein Minimum.

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automatisch erstellt am 5.1.2017