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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Spezielle skalare Differentialgleichungen - Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Linearer Oszillator

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Die Auslenkung $ u(t)$ eines linearen Oszillators bei periodischer Anregung wird durch die Differentialgleichung

$\displaystyle u^{\prime\prime} + \omega_0^2 u = c \cos(\omega t), \quad \omega_0>0 \,, $

beschrieben.

Die allgemeine Lösung setzt sich aus einer freien und einer erzwungenen Schwingung $ u = u_h + u_p$ zusammen, wobei

$\displaystyle u_h(t) = a \cos(\omega_0 t) + b \sin(\omega_0 t) $

und

$\displaystyle u_p(t) = \frac{c}{\omega^2-\omega_0^2}\, (\cos(\omega_0 t)-\cos(\omega t)),\quad \omega \ne \omega_0 \,, $

sowie

$\displaystyle u_p(t) = \frac{c}{2 \omega}\,t\sin(\omega t) $

im Resonanzfall $ \omega=\omega_0$ .

Die Konstanten $ a$ , $ b$ können durch Anfangsbedingungen festgelegt werden:

$\displaystyle a = u(0),\quad b = u^\prime(0)/\omega_0\,. $

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  automatisch erstellt am 6.6.2011