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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Differentialgleichungssysteme - Allgemeine Theorie

Differentialgleichung n-ter Ordnung

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Eine Differentialgleichung $ n$-ter Ordnung für eine skalare Funktion $ u(t)$ hat die Form

$\displaystyle g(t,u(t),u^\prime(t),\ldots,u^{(n)}(t)) = 0 \,, $

wobei der Parameter $ t\in\mathbb{R}$ auf ein Intervall eingeschränkt werden kann. Man unterscheidet dabei zwischen expliziter und impliziter Form, je nachdem, ob sich die Gleichung nach der höchsten Ableitung auflösen lässt,

$\displaystyle u^{(n)}(t) = f(t,u(t),\ldots,u^{(n-1)}(t)) \,, $

oder nicht. Tritt der Parameter $ t$ nicht explizit als Argument von $ f$ auf, so spricht man von einer autonomen Differentialgleichung.

Die allgemeine Lösung $ u$ einer Differentialgleichung $ n$-ter Ordnung,

$\displaystyle g(t,u,u^\prime,\ldots,u^{(n)}) = 0,\quad t\ge t_0 \,, $

besitzt im Allgemeinen $ n$ freie Parameter (Integrationskonstanten), die durch die Anfangsbedingungen

$\displaystyle u^{(j)}(t_0) = u^{(j)}_0,\quad j=0,\ldots,n-1 \,, $

festgelegt werden können.

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  automatisch erstellt am 6.6.2011