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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Differentialgleichungssysteme - Lineare Systeme

Existenz von Lösungen für lineare Differentialgleichungssysteme

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Ein lineares Differentialgleichungssystem

$\displaystyle u^\prime = A(t) u + b(t) $

mit stetiger Koeffizientenmatrix $ A$ und stetigem Vektor $ b$ besitzt eine eindeutige Lösung $ (u_1,\ldots,u_n)^{\operatorname t}$ für jeden Anfangswert $ u(t_0)$. Insbesondere besitzt das homogene System $ u^\prime = A(t) u$ $ n$ linear unabhängige Lösungen $ v,w,\ldots$, die man in einer Fundamentalmatrix

$\displaystyle \Gamma = (v,w,\ldots) $

zusammenfassen kann.

Die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems hat die Form

$\displaystyle u = u_p + u_h,\quad u_h = \Gamma c \,, $

wobei $ u_p$ eine partikuläre Lösung und $ u_h$ eine Lösung des homogenen Systems ist, und

$\displaystyle c = \Gamma^{-1}(t_0)(u(t_0) - u_p(t_0)) $

durch eine Anfangsbedingung in einem Punkt $ t_0$ festgelegt werden kann.

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  automatisch erstellt am 6.6.2011