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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Differentialgleichungssysteme - Lineare Systeme

Wronski-Determinante

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Für eine Fundamentalmatrix $ \Gamma$ des homogenen Differentialgleichungssystems $ u^\prime = A(t)u$ gilt für die sogenannte Wronski-Determinante det $ \Gamma(t)$

$\displaystyle (\operatorname{det} \Gamma)^\prime = \operatorname{Spur} A(t)\, (\operatorname{det} \Gamma) \,. $

Damit ist

$\displaystyle \operatorname{det} \Gamma(t) =\det \Gamma(t_0) \exp\left(\int\limits_{t_0}^t\operatorname{Spur}A(s)\,ds\right)>0\,, $

woraus insbesondere folgt, dass $ \Gamma(t)$ für alle $ t>t_0$ invertierbar ist, falls $ \det \Gamma(t_0)\neq 0$.

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  automatisch erstellt am 6.6.2011