Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Differentialgleichungssysteme - Lineare Systeme

Eigenlösungen eines linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

Ist $ (v_1,\dots,v_n)^{\operatorname t}$ ein Eigenvektor der Matrix $ A$ zum Eigenwert $ \lambda$, dann ist

$\displaystyle u(t) = \exp(\lambda t) v $

eine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems $ u^\prime = A u$. Bei komplex konjugierten Eigenwerten $ \lambda = \sigma \pm \varrho\mathrm{i}$ sind für eine reelle Matrix Real- und Imaginärteil von $ u$,

$\displaystyle \exp(\sigma t)(\cos(\varrho t)\operatorname{Re}v-\sin(\varrho t)\... ...ma t)(\sin(\varrho t)\operatorname{Re}v+\cos(\varrho t)\operatorname{Im}v) \,, $

Lösungen. Falls eine Basis aus Eigenvektoren existiert, erhält man durch Bilden von Linearkombinationen die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Die Koeffizienten werden eindeutig durch eine Anfangsbedingung festgelegt.

(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)

(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 6.6.2011