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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Differentialgleichungssysteme - Lineare Systeme

Diagonalisierbares System linearer Differentialgleichungen

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Ist die Matrix $ A$ durch $ Q$ diagonalisierbar,

$\displaystyle Q^{-1} A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \,, $

dann lässt sich das Differentialgleichungssystem $ u^\prime = Au + b(t)$ entkoppeln. Mit

$\displaystyle u = Qv,\quad c = Q^{-1} b $

ist

$\displaystyle v_i^\prime = \lambda_i v_i + c_i(t),\quad i=1,\ldots,n \,. $

Diese skalaren linearen Differentialgleichungen können explizit gelöst werden:

$\displaystyle v_i(t)=\exp(\lambda_i t)\left(\exp(-\lambda_i t_0)v_i(t_0)+\int\limits_{t_0}^tc_i(s)\exp(-\lambda_i s)\,ds\right)\,. $

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  automatisch erstellt am 6.6.2011