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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Differentialgleichungssysteme - Lineare Systeme

Stabilitätsdiagramm für zweidimensionale Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten

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Für ein zweidimensionales Differentialgleichungssystem

$\displaystyle u^\prime = A u,\quad u = (u_1,u_2)^{\operatorname t} \,, $

lässt sich Stabilität mit Hilfe der Determinante und Spur der Matrix $ A$ charakterisieren.

\includegraphics[width=0.8\moimagesize]{Stabilitaet.eps}

Wie aus der Abbildung ersichtlich, ist

$\displaystyle \operatorname{det} A>0,\ \operatorname{Spur} A < 0 $

notwendig und hinreichend für Stabilität. Die Parabel

$\displaystyle \det A=\left(\frac{ \operatorname{Spur}A}{2}\right)^2 \Leftrightarrow \lambda = \varrho $

trennt die qualitativ verschiedenen Fälle Spirale und Knoten.

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  automatisch erstellt am 6.6.2011