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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Differentialgleichungssysteme - Lineare Systeme

Klassifizierung reeller zweidimensionaler Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten


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Das qualitative Verhalten der Lösungen des Differentialgleichungssystems

$\displaystyle u^\prime = A u,\quad u = (u_1,u_2)^{\operatorname t}\,,
$

mit $ A$ einer reellen $ 2 \times 2$-Matrix lässt sich anhand der Jordan-Normalform

$\displaystyle J = \left(\begin{array}{cc}
\lambda & * \\ 0 & \varrho
\end{array}\right)
= Q^{-1} A Q,\quad u = Qv
\,,
$

von $ A$ klassifizieren. Die Abbildungen zeigen dabei jeweils den Verlauf typischer Lösungskurven des transformierten Systems $ v'=Jv$.

Zusätzlich gibt es noch degenerierte Fälle, bei denen ein Eigenwert null ist.

\includegraphics[width=0.3\moimagesize]{entart1.eps}      \includegraphics[width=0.3\moimagesize]{entart2.eps}      \includegraphics[width=0.3\moimagesize]{entart3.eps}
$ \lambda=0$, $ \varrho<0$   $ \lambda=0$, $ \varrho>0$   $ \lambda=0$, $ \varrho=0$, $ A\ne 0$

In jedem dieser Fälle hat das Differentialgleichungssystem Ruhepunkte entlang der gesamten $ v_1$-Achse.


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  automatisch erstellt am 6.6.2011