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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Laplace-Transformation - Definition und Eigenschaften

Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen

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Für die Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen gilt

$\displaystyle u(t)=t^n\exp(at) \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow} U(s) = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}},\quad \operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(a). $

Mit $ a = \lambda + \mathrm{i}\omega$ erhält man insbesondere die Laplace-Transformation von trigonometrischen Funktionen:
$\displaystyle \exp(\lambda t)\cos(\omega t)$ $\displaystyle \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow}$ $\displaystyle \frac{s - \lambda}{(s-\lambda)^2+\omega^2}\,,$  
$\displaystyle \exp(\lambda t)\sin(\omega t)$ $\displaystyle \stackrel{\mathcal{L}}{\longrightarrow}$ $\displaystyle \frac{\omega}{(s-\lambda)^2+\omega^2}\,.$  

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  automatisch erstellt am 6.6.2011