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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Laplace-Transformation - Laplace-Transformation von Anfangswertproblemen

Laplace-Transformation linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung

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Die Laplace-Transformation der Lösung des Anfangswertproblems

$\displaystyle u^{\prime\prime} + p u^\prime + q u = f(t), \quad u(0) = a,\, u^\prime(0) = b $

ist

$\displaystyle U(s) = \frac{1}{s^2+ps+q}\left(F(s)+as+ap+b\right)\,. $

Die Lösung kann also durch Faltung berechnet werden,

$\displaystyle u = \underbrace{a\varphi^\prime + (ap+b)\varphi}_{u_h}+\underbrace{\varphi \star f}_{u_p}\,, $

bzw. durch direkte Rücktransformation von $ U(s)$.

Bezeichnen $ \lambda$ und $ \varrho$ die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $ \Phi^{-1} = s^2+ps+q$, so gilt

$\displaystyle \varphi(t) = \left\{\begin{array}{cr} \displaystyle{ \frac{e^{\la... ...\\ [-1ex] \\ t e^{\lambda t}\,,\quad &\lambda = \varrho\,. \end{array}\right. $

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  automatisch erstellt am 6.6.2011