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Mathematik-Online-Kurs: Mehrdimensionale Integration - Mehrdimensionale Integrale

Mehrdimensionales Integral

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Das Integral einer stetigen Funktion $ f$ auf einem regulären Bereich $ V \subseteq \mathbb{R}^n$ kann als Grenzwert von Riemann-Summen definiert werden:

$\displaystyle \int\limits_V f\,dV = \lim_{\vert\Delta \vert\to 0} \sum_i f(P_i)\Delta V_i\,,\quad \Delta V_i=\operatorname{vol}(V_i) \,. $

Dabei wird $ V$ durch Vereinigungen disjunkter Elementarbereiche $ V_i$ (im allgemeinen Simplizes oder Parallelepipede) approximiert, d.h. der Hausdorff-Abstand von $ V$ und $ \bigcup\limits_i V_i$ strebt gegen 0. Mit $ \vert \Delta \vert$ wird der maximale Durchmesser der $ V_i$ bezeichnet, $ P_i$ sind beliebige Punkte in $ V_i$.

Die Schreibweise $ \Delta V_i \to dV$ symbolisiert den Grenzprozess, und $ dV$ nennt man das Volumenelement. Abkürzend schreibt man auch $ \int\limits_V f$ oder ausführlicher

$\displaystyle \int\limits_V f \, dV = \int\limits_V f(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1 \ldots dx_n\,, $

wenn man die Integrationsvariablen hervorheben will.

Aufgrund der Stetigkeit von $ f$ ist die Definition des Riemann-Integrals sowohl von der Wahl der Elementarbereiche $ V_{i}$ als auch der Punkte $ P_{i}$ unabhängig.

\includegraphics[width=0.5\moimagesize]{a_integral1}

Für eine positive Funktion entspricht das Integral dem Volumen der Menge

$\displaystyle \{(x_1,\ldots,x_n,h):\ 0\le h\le f(x),\,x\in V\} \,. $

Insbesondere ist $ \int\limits_V 1$ das Volumen des Integrationsbereiches $ V$.

Die Glattheitsvoraussetzungen an $ f$ und $ V$ können abgeschwächt werden, indem man das Integral über einen geeigneten Grenzprozess definiert. Man spricht dann von einem uneigentlichen Integral.

Es wird das Integral der Funktion

$\displaystyle f(x,y)=xy $

über dem Bereich

$\displaystyle V:\, 0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1+x^2 $

als Grenzwert von Riemann-Summen (Approximation mit Treppenfunktionen) berechnet.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{bsp_integral1}

Die Approximation mit einem Quadratgitter der Gitterweite $ h=1/n$ führt auf die Riemann-Summe

$\displaystyle h^2 \sum_{0\le j<n}\ \sum_{0\le kh <1+(jh)^2} (jh)(kh) = h^4 \sum_{0\le j<n} j \sum_{0\le k <n+j^2/n} k \,. $

Vernachlässigt man Terme höherer Ordnung und berücksichtigt, dass

$\displaystyle \sum_{0\le\ell<r} \ell^m = r^{m+1}/(m+1) + O(r^m) \,, $

so ergibt sich
    $\displaystyle \frac{1}{n^4}\,\sum_{0\le j<n} j\left((n+j^2/n)^2/2+O(n)\right)$  
    $\displaystyle \qquad =\frac{1}{n^4}\,\sum_{0\le j<n} jn^2/2 + j^3 + j^5/(2n^2)+O(n^2)$  
    $\displaystyle \qquad = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12}\right) + O(\underbrace{1/n}_{h}) \,.$  

Nach Bilden des Grenzwerts für $ n\to\infty$ erhält man $ 7/12$ als Wert des Integrals.
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  automatisch erstellt am 5.1.2017