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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Differentiation - Koordinatentransformation

Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten

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Für Zylinderkoordinaten

$\displaystyle x=\varrho\cos \varphi,\quad y=\varrho\sin \varphi,\quad z=z $

gelten für räumliche Skalarfelder

$\displaystyle U(x,y,z)=\Phi(\varrho,\varphi,z) $

und Vektorfelder

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z)= F_x\vec{e}_x+F_y\vec{e}_y+F_z\vec{e}_z = \Psi_\va... ...Psi_\varphi \vec{e}_\varphi + \Psi_z \vec{e}_z = \vec{\Psi}(\varrho,\varphi,z) $

die Transformationsregeln

$\displaystyle \operatorname{grad} U$ $\displaystyle = \partial_\varrho \Phi \vec{e}_\varrho + \frac{1}{\varrho}\partial_\varphi \Phi \vec{e}_\varphi + \partial_z \Phi \vec{e}_z\,,$    
$\displaystyle \Delta U$ $\displaystyle = \frac{1}{\varrho}\partial_\varrho(\varrho \partial_\varrho \Phi) + \frac{1}{\varrho^2}\partial_\varphi^2 \Phi + \partial_z^2\Phi\,,$    
$\displaystyle \operatorname{div}\vec{F}$ $\displaystyle = \frac{1}{\varrho} \partial_\varrho (\varrho\Psi_\varrho) + \frac{1}{\varrho}\partial_\varphi \Psi_\varphi + \partial_z \Psi_z\,,$    
$\displaystyle \operatorname{rot}\vec{F}$ $\displaystyle = \left(\frac{1}{\varrho}\partial_\varphi \Psi_z-\partial_z \Psi_... ...\varrho(\varrho\Psi_\varphi) - \partial_\varphi \Psi_\varrho\right)\vec{e}_z\,.$    

Für das axialsymmetrische Skalarfeld $ U(x,y,z)=\Phi\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)=\Phi(\varrho)$ ist

$\displaystyle \operatorname{grad}U = \partial_\varrho\Phi \vec{e}_\varrho $

und

$\displaystyle \Delta U = \frac{1}{\varrho}\, \partial_\varrho \left( \varrho \partial_\varrho \Phi \right) = \Phi'' + \varrho^{-1}\Phi' \,. $

Speziell erhält man für $ U(x,y,z)=\varrho^s$

\begin{displaymath} \operatorname{grad}U = s\varrho^{s-1}\vec{e}_\varrho = s(x^2... .../2-1}\,\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ 0\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

und

$\displaystyle \Delta U = s^2 \varrho^{s-2} \,. $

Die Divergenz des quellenförmigen Feldes

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\psi(\varrho)\vec{e}_\varrho $

ist

$\displaystyle \operatorname{div} \vec{F} = \frac{1}{\varrho} \partial_\varrho \left(\varrho \psi\right) = \psi' + \varrho^{-1} \psi \,. $

Speziell erhält man für $ \vec{F}(x,y,z)=\varrho^s \vec{e}_\varrho$

$\displaystyle \operatorname{div}\vec{F}= (s+1)\varrho^{s-1} \,. $

Für $ s=-1$ ist das Feld bis auf die Singularität im Ursprung divergenzfrei.

Die Rotation des wirbelförmigen Feldes

$\displaystyle \vec{F} (x,y,z)=\psi(\varrho)\vec{e}_\varphi $

ist

\begin{displaymath} \operatorname{rot} \vec{F} = \frac{1}{\varrho} \partial_\va... ...} 0 \\ 0 \\ \psi' + \varrho^{-1} \psi\\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Speziell erhält man für $ \vec{F}(x,y,z)=\varrho^s \vec{e}_\varphi$

\begin{displaymath} \operatorname{rot}\vec{F} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (s+1)\varrho^{s-1}\\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Für $ s=-1$ ist das Feld bis auf die Singularität im Ursprung rotationsfrei.
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  automatisch erstellt am 9.10.2013