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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Integration - Integralsätze von Gauß

Flächenberechnung mit dem Integralsatz von Gauß

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Der Inhalt einer ebenen Fläche $ A$ mit Rand $ C: t \mapsto \vec{r}(t)$ lässt sich durch

$\displaystyle \operatorname{area}(A) =\frac{1}{2} \int\limits_C \vec{r} \times d\vec{r} $

berechnen. Anstatt $ \vec{r}$ kann auch ein anderes Vektorfeld $ \vec{F}$ mit $ \operatorname{div}\vec{F} = c$ verwendet werden, wobei der Faktor $ 1/2$ dann durch den Faktor $ 1/c$ zu ersetzen ist.
Es soll der Flächeninhalt des Gebiets $ A$, das von einer Ellipse $ C$ mit Halbachsenlängen $ a, b > 0$ berandet wird, berechnet werden.

Parametrisiert man die Randkurve $ C$ durch

\begin{displaymath} \vec{r}(t)=\left( \begin{array}{c} a \cos t\\ b \sin t\\ \end{array}\right),\quad t\in [0,2\pi]\,, \end{displaymath}

so erhält man für den Flächeninhalt mit dem Satz von Gauß
$\displaystyle \iint\limits_A 1 \,dA$ $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\frac{1}{2} \int\limits_{C} \vec{r} \times d \vec{r} = \frac{... ...n{array}{r} -a \sin t\,dt\\ b \cos t\,dt\\ \end{array}\right)\end{displaymath}  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} ab \int\limits_0^{2\pi} 1 \,dt =\pi ab\,.$  

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  automatisch erstellt am 9.10.2013