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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Differentiation - Skalar- und Vektorfelder

Vektorfelder in Kugelkoordinaten

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Bezüglich der auf den Punkt

$\displaystyle (x,y,z)= (r\cos\varphi \sin \vartheta\,,\, r\sin \varphi \sin \vartheta\,,\, r\cos\vartheta) $

bezogenen orthonormalen Basis

$\displaystyle \vec{e}_r = \left(\begin{array}{r} \cos\varphi\sin\vartheta\\ ... ... -\sin\varphi\\ \cos\varphi\\ \multicolumn{1}{c}{0} \end {array}\right) $

besitzt das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = F_x\vec{e}_x+F_y\vec{e}_y+F_z\vec{e}_z $

die Darstellung

$\displaystyle \vec{F}(r,\vartheta,\varphi) = F_r\vec{e}_r+F_\vartheta\vec{e}_\vartheta+F_\varphi\vec{e}_\varphi $

mit

$\displaystyle F_r=\vec{F}\cdot \vec{e}_r\,,\quad F_\vartheta= \vec{F}\cdot \vec{e}_\vartheta\,,\quad F_\varphi= \vec{F}\cdot \vec{e}_\varphi\,. $

\includegraphics[width=.6\linewidth]{VektorfeldKugelKoord}
Das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\left(\begin{array}{c} x-yz\\ y+xz\\ z\end{array}\right) $

besitzt in Kugelkoordinaten die Darstellung

$\displaystyle \vec{F}(r,\vartheta,\varphi)= \left(\begin{array}{c} r\cos\var... ...}_\varphi} =r\vec{e}_r+r^2 \sin\vartheta\cos\vartheta\vec{e}_{\varphi} \, . $

Dies ist unmittelbar aus der Definition der Basisvektoren ersichtlich.

Das Vektorfeld $ r\vec{e}_\vartheta+\vec{e}_\varphi$ besitzt in kartesischen Koordinaten die Darstellung

$\displaystyle \left( \begin{array}{c} r\cos\varphi\cos\vartheta-\sin\varphi... ... \begin{array}{c} zx-y\\ zy+x\\ -(x^2+y^2) \end{array} \right)\,, $

die man durch Einsetzen der Koordinaten der Basisvektoren gewinnt.
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  automatisch erstellt am 9.10.2013