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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Differentiation - Skalar- und Vektorfelder

Vektorfelder in Zylinderkoordinaten

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Bezüglich der auf den Punkt

$\displaystyle (x,y,z)=(\varrho \cos \varphi\,,\, \varrho \sin \varphi\,,\,z) $

bezogenen orthonormalen Basis

$\displaystyle \vec{e}_\varrho = \left(\begin{array}{c}\cos\varphi\\ \sin\varphi... ...}\right),\quad \vec{e}_z = \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right) $

besitzt das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = F_x\vec{e}_x+F_y\vec{e}_y+F_z\vec{e}_z $

die Darstellung

$\displaystyle \vec{F}(\varrho,\varphi,z) = F_\varrho\vec{e}_\varrho+F_\varphi\vec{e}_\varphi+F_z\vec{e}_z $

mit

$\displaystyle F_\varrho=\vec{F}\cdot \vec{e}_\varrho\,,\quad F_\varphi= \vec{F}\cdot \vec{e}_\varphi\,. $

\includegraphics[width=.6\linewidth]{VektorfeldZylKoord}

Das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\left(\begin{array}{c} x-yz\\ y+xz\\ z\end{array}\right) $

besitzt in Zylinderkoordinaten die Darstellung

$\displaystyle \vec{F}(\varrho,\varphi,z)= \left(\begin{array}{c} \varrho\cos... ...= \varrho \vec{e}_{\varrho}+\varrho z \vec{e}_{\varphi}+ z \vec{e}_{z} \, . $

Dies ist unmittelbar aus der Definition der Basisvektoren ersichtlich. Verwendet man die allgemeine Formel, so folgt ebenfalls

$\displaystyle F_\varrho= \left(\begin{array}{c} \varrho\cos\varphi-\varrho\... ...phi \\ \sin\varphi \\ \multicolumn{1}{c}{0}\end{array}\right) = \varrho $

sowie $ F_\varphi = \vec{F}\cdot \vec{e}_\varphi = \varrho z$. Die $ z$-Komponente bleibt unverändert.

Das Vektorfeld $ \vec{F}(\varrho,\varphi,z)=\varrho \vec{e}_{\varrho}+\vec{e}_\varphi+\vec{e}_z$ besitzt in kartesischen Koordinaten die Darstellung

\begin{displaymath} \vec{F} &=& \varrho\, \left( \begin{array}{c} \cos\varp... ...y+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ 1\\ \end{array} \right) \,, \end{displaymath}

die man durch Einsetzen der Koordinaten der Basisvektoren gewinnt.
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  automatisch erstellt am 9.10.2013