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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Differentiation - Differentialoperatoren

Rotation

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Die Rotation eines Vektorfeldes

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = F_x\vec{e}_x+F_y\vec{e}_y+F_z\vec{e}_z $

wird durch

$\displaystyle \operatorname{rot}\vec{F} = \left(\begin{array}{c} \partial_y F_z... ..._z F_x - \partial_x F_z \\ \partial_x F_y - \partial_y F_x \end{array}\right) $

definiert. Sie ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und entspricht physikalisch der Wirbeldichte des Vektorfeldes.

Benutzt man die Indexschreibweise

$\displaystyle \vec{F} = \sum\limits_{i=1}^3 F_i \vec{e}_i\,, $

so lässt sich die Rotation mit Hilfe des $ \varepsilon$-Tensors in der Form

$\displaystyle \left( \operatorname{rot} \vec{F} \right)_i= \sum\limits_{j,k = 1}^3 \varepsilon_{ijk} \ \partial_j F_k $

schreiben. Diese Definition ist unter anderem bei der Manipulation von Summen vorteilhaft.

Die normale Komponente der Rotation eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes $ \vec{F}$ an einem Punkt $ P$ lässt sich als Grenzwert von Arbeitsintegralen definieren:

$\displaystyle (\vec{n}^\circ \cdot\operatorname{rot} \vec{F})(P) = \lim_{\opera... ... \frac{1}{\operatorname{area}{S}}\, \int\limits_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} \,. $

Dabei wird der Grenzwert über eine Folge regulärer Flächen $ S$ mit orientiertem Rand $ {C}:\ t\mapsto \vec{r}(t)$ gebildet, die alle den Punkt $ P$ enthalten und dort die Normale $ \vec{n}$ haben, wobei der größte Abstand zweier Flächenpunkte (diam $ S$) und damit auch der Fächeninhalt gegen null geht.

\includegraphics[clip=true,width=.4\linewidth]{a_rotation_bild_beschriftung}
Das Skalarprodukt auf der linken Seite wird als Wirbelstärke von $ \vec{F}$ um $ \vec{n}(P)$ bezeichnet und ist für $ \vec{n}(P)\parallel\operatorname{rot}\vec{F}$ am größten.

Diese geometrische Charakterisierung der Rotation folgt unmittelbar aus dem Satz von Stokes und dem Mittelwertsatz. Sie zeigt insbesondere, dass $ \operatorname{rot}\vec{F}$ invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen ist.

Für ebene Vektorfelder $ \vec{F}(x,y)$ setzt man

$\displaystyle \operatorname{rot} \vec{F} = \partial_x F_y -\partial_y F_x\,. $

Dies entspricht der Definition für räumliche Vektorfelder, wenn man eine zusätzliche dritte Komponente $ F_z=0$ einführt und die Rotation in $ \mathbb{R}^3$ wie oben berechnet.

Zur Illustration wird die Rotation zweier typischer Felder berechnet.

Für das zentrale Kraftfeld

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=r\vec{e}_r $

ist

\begin{displaymath} \operatorname{rot}\vec{F} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Für eine wirbelförmige Strömung

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = \left(\begin{array}{r}-y\\ x\\ 0\end{array}\right)=\varrho\vec{e}_\varphi $

ist

\begin{displaymath} \operatorname{rot} \vec{F} = \left( \begin{array}{c} 0 - 0\\... ...= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 2\\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Zur Illustration der geometrischen Definition wird das Vektorfeld

\begin{displaymath} \vec{F}(x,y,z)=\left( \begin{array}{c} -y\\ x\\ 0\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

mit

\begin{displaymath} \operatorname{rot}\vec{F}=\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 2\\ \end{array}\right) \end{displaymath}

auf Kreisscheiben $ S$ in der $ xy$-Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius $ a>0$ betrachtet. Der Rand $ C$ von $ S$ wird dabei mit

\begin{displaymath} C:\quad \vec{r}(t)=\left( \begin{array}{c} a\cos t\\ a\sin t... ...in t\\ a\cos t\\ 0\\ \end{array}\right),\quad t\in[0,2\pi]\,, \end{displaymath}

parametrisiert. Man erhält

$\displaystyle \lim_{\operatorname{diam}{S}\to0} \frac{1}{\operatorname{area}{S}}\, \int\limits_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r}$ $\displaystyle = \lim_{a\to0}\frac{1}{\pi a^2}\int\limits_0^{2\pi}\left( \begin{... ...) \cdot \left( \begin{array}{c} -a\sin t\\ a\cos t\\ 0\\ \end{array}\right)\,dt$    
  $\displaystyle = \lim_{a\to0}\frac{1}{\pi a^2}\int\limits_0^{2\pi} a^2\,dt = \lim_{a\to0}\frac{2\pi a^2}{\pi a^2} = 2\,,$    

was mit

$\displaystyle \vec{n}^\circ\cdot\operatorname{rot} \vec{F} = \left(\begin{array... ...d{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 2\\ \end{array}\right) = 2 $

übereinstimmt.
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  automatisch erstellt am 9.10.2013