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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Fourier-Reihen - Kosinus- und Sinusreihen

Orthogonalität von Kosinus- und Sinusfunktionen


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Die Funktionen

$\displaystyle 1\,,\quad \cos(kx)\,,\quad \sin(kx)\,,\quad k>0
\,,
$

bilden ein Orthogonalsystem im Raum der quadratintegrierbaren $ 2\pi$-periodischen Funktionen:

$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi \cos(jx)\cos(kx)\,dx =
\int\limits_{-\pi}^...
...sin(lx)\,dx =
\int\limits_{-\pi}^\pi \sin(jx)\sin(kx)\,dx =
0,\quad j\ne k
\,,
$

und

$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi\cos^2(kx)\,dx =
\int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(kx)\,dx = \pi,\quad
k>0\,.
$


Der Beweis erfolgt durch einfaches Nachrechnen. So erhält man z. B. mit

$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\cos\left(\left(j-k\right)x\right)+\cos\left(\left(j+k\right)x\right)\right) = \cos(jx)\cos(kx)
$

für $ j\neq k$
$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi\, \cos(jx)\cos(kx)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\left( \int\limits_{-\pi}^\pi \cos((j-k)x)\,dx +
\int\limits_{-\pi}^\pi \cos((j+k)x)\,dx \right)= 0\,.$  

Durch die Periodizität von $ \sin(kx)$ und $ \cos(kx)$ ist

$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(kx)\,dx
= \int\limits_{-\pi}^\pi\co...
...s_{-\pi-\frac{\pi}{2k}}^{\pi-\frac{\pi}{2k}}
\cos^2(k\tilde{x})\,d\tilde{x}\,.
$

Nach Verschieben des Integrationsintervalles des rechten Integrals um $ \frac{\pi}{2k}$ folgt
$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(kx)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} \int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(kx)+\sin^2(kx)\,dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left(
\int\limits_{-\pi}^\pi\cos^2(kx)\,dx + \int\li...
...i}^\pi\sin^2(kx)\,dx
\right) = \frac{1}{2} \int\limits_{-\pi}^\pi \,dx = \pi\,.$  


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  automatisch erstellt am 13.11.2013