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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Fourier-Reihen - Kosinus- und Sinusreihen

Reelle Fourier-Reihe

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Die reelle Fourier-Reihe einer reellen $ 2\pi$-periodischen Funktion $ f$ ist die Entwicklung nach dem Orthogonalsystem der Kosinus- und Sinusfunktionen:

$\displaystyle f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left( a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right) $

mit

$\displaystyle a_k$ $\displaystyle = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)\,dt,\quad k\ge0\,,$    
$\displaystyle b_k$ $\displaystyle = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)\,dt,\quad k\ge1\,.$    

Die Art der Konvergenz der Reihe hängt dabei von der Glattheit von $ f$ ab. Hinreichend für absolute Konvergenz ist beispielsweise, dass die Fourier-Koeffizienten $ a_k$ und $ b_k$ absolut konvergente Reihen bilden.

Auch eine konvergente Fourier-Reihe muss nicht an allen Stellen den Funktionswert als Grenzwert haben. An Unstetigkeitsstellen konvergiert die Reihe meist gegen den Mittelwert aus rechtsseitigem und linksseitigem Funktionsgrenzwert. Daher wird im Allgemeinen $ f(x) \sim \sum \cdots$ statt $ f(x)= \sum \cdots$ geschrieben.

Es wird die reelle Fourier-Reihe der $ 2\pi$-periodischen Fortsetzung der abgebildeten Funktion bestimmt.

\includegraphics[clip,width=.9\linewidth]{b_fourier_reihe_f}

\begin{displaymath} f(x)= \begin{cases} 1, & x\in[-\pi,-\pi/2)\cup[0,\pi/2), \\ 0, & x\in[-\pi/2,0)\cup[\pi/2,\pi). \end{cases}\end{displaymath}

(i) Kosinus-Koeffizienten:

$\displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(t)\,dt = \frac{1}{\pi}\left( \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right) = 1 \,. $

Für $ k\ge 1$ erhält man, da der Kosinus eine gerade Funktion ist,
$\displaystyle a_k$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\pi} \left( \int\limits_{-\pi}^{-\pi/2}\cos(kt)\,dt + \i... ...i/2}\cos(kt)\,dt \right) = \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\pi \cos(kt)\,dt = 0 \,.$  

(ii) Sinus-Koeffizienten:

$\displaystyle b_k$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\pi} \left( \int\limits_{-\pi}^{-\pi/2}\sin(kt)\,dt + \int\limits_0^{\pi/2}\sin(kt)\,dt \right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\pi} \left( \left[ -\frac{\cos(kt)}{k}\right]_{-\pi}^{-\pi/2} +\left[ -\frac{\cos(kt)}{k}\right]_0^{\pi/2} \right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{k\pi} \left(-2\cos(k\pi/2)+(-1)^k+1\right) \,.$  

Jenachdem ob $ \cos(k\pi/2)$ den Wert 0, $ 1$ oder $ -1$ hat, unterscheidet man $ 3$ Fälle:
$ k$ ungerade: $ b_k =0$,
$ k=4m$: $ b_{4m} =0$,
$ k=4m+2$: $ b_{4m+2}=4/((4m+2)\pi)$.

(iii) Fourier-Reihe von $ f$:

$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{4}{\pi}\sum_{m=0}^\infty \frac{\sin\left((4m+2... ...\frac{4}{\pi}\left(\frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(6x)}{6} + \cdots\right) \,. $

Die Abbildung zeigt die Partialsummen

$\displaystyle \frac{1}{2} +\frac{4}{\pi}\sum\limits_{m=0}^n \frac{\sin\left((4m+2)x\right)}{4m+2} $

für $ n=2$ und $ n=8$.

\includegraphics[clip,width=.9\linewidth]{b_fourier_reihe_f_p1_p8}

Da $ f$ unstetig ist, konvergiert die Fourier-Reihe sehr langsam. Man beobachtet Überschwingungen in der Nähe der Sprungstellen, das sogenannte Gibbsche Phänomen.

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  automatisch erstellt am 13.11.2013