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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Fourier-Reihen - Konvergenz

Parseval-Identität

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Die Norm einer $ 2\pi$-periodischen quadratintegrierbaren Funktion $ f$ lässt sich durch die Fourier-Koeffizienten

$\displaystyle c_k = \langle f,e_k \rangle_{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(t)e^{-\mathrm{i}kt}\,dt $

ausdrücken:

$\displaystyle \Vert f\Vert _{2\pi}^2 = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \vert f(t)\vert^2\,dt= \sum_{k\in\mathbb{Z}} \vert c_k\vert^2 \,. $

Entsprechend gilt für die Kosinus- und Sinus-Koeffizienten einer reellen Funktion f

$\displaystyle \Vert f\Vert _{2\pi}^2 = \frac{a_0^2}{4} + \frac12 \sum_{k=1}^\infty \left(a_k^2 +b_k^2\right) \,. $

Mit der Konvergenz im Mittel,

$\displaystyle \Vert f -p_nf\Vert _{2\pi}^2 \to 0,\quad n\to\infty\,, $

folgt die Behauptung unmittelbar aus der Orthogonalität der Basis-Funktionen:

$\displaystyle \Vert f\Vert _{2\pi}^2 = \lim_{n\to\infty} \Vert p_nf\Vert _{2\pi... ...angle_{2\pi} = \lim_{n\to\infty} \sum_{\vert k\vert\le n} \vert c_k\vert^2\,. $

Die reellen Basis-Funktionen sind ebenfalls orthogonal und haben die Norm

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \cos^2(kx)\, dx = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \sin^2(kx)\, dx = \frac12\,. $

Die $ 2\pi$-periodische Fortsetzung der Funktion

$\displaystyle f(x)=x,\quad x\in[-\pi,\pi)\,, $

besitzt die Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x)\sim \mathrm{i} \sum_{k\neq 0} \frac{(-1)^k}{k}e^{\mathrm{i}kx}\,. $

\includegraphics[width=.6\linewidth]{b_parseval}
Somit gilt

$\displaystyle \Vert f\Vert _{2\pi}^2$ $\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \,dx = \frac{\pi^2}{3}$    

und mit der Parseval-Identität


$\displaystyle \frac{\pi^2}{3}$ $\displaystyle =\sum_{k\neq 0} \left\vert\mathrm{i}\frac{(-1)^k}{k}\right\vert^2 = 2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\,.$    

Nach Umformung erhält man

$\displaystyle \frac{\pi^2}{6} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}+\cdots \,. $

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  automatisch erstellt am 13.11.2013