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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Fourier-Transformation - Fundamentale Sätze

Poisson-Summationsformel

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Sind $ f$ und $ \hat{f}$ stetig und quadratintegrierbar, so gilt

$\displaystyle \sum_{j\in\mathbb{Z}} f(j) = \sum_{l\in\mathbb{Z}} \hat{f}(2\pi l) \,. $

Aufgrund des Satzes von Plancherel genügt es, glatte Funktionen $ \hat{f}$ mit kompaktem Träger zu betrachten, so dass die Konvergenz von Summen und Integralen unproblematisch ist. Die linke Seite der Identität ist dann gleich

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \sum_j \int\limits_{-\infty}^\infty \hat{f}(y) e^{\mathrm{i}jy}\,dy \,. $

Man schreibt nun das Integral über $ \mathbb{R}$ als Summe von Integralen über Periodizitätsintervalle,

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty \ldots = \sum_l \int\limits_{2\pi l-\pi}^{2\pi l+\pi} \ldots \,, $

und erhält den Ausdruck

$\displaystyle \sum_j \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \left[ \sum_l \hat{f}(y+2\pi l) \right] e^{\mathrm{i}jy}\,dy \,. $

Die Summe in eckigen Klammern ist eine $ 2\pi$-periodische Funktion $ g(y)$. Der obige Ausdruck entspricht also der Summe der Fourier-Koeffizienten $ c_{-j}$ von $ g$ und ist somit gleich

$\displaystyle \sum_j c_j e^{\mathrm{i}jy}\Big\vert _{y=0} = g(0) = \sum_l \hat{f}(2\pi l) \,. $

Als Beispiel wird die Hutfunktion

\begin{displaymath} f(x)= \begin{cases} 0,& x<-1\\ x+1,& -1\leq x < 0\\ 1-x,& ... ...f}(y)=\operatorname{sinc}^2(y/2)= \frac{\sin^2(y/2)}{(y/2)^2} \end{displaymath}

betrachtet.

Unter Berücksichtigung von

$\displaystyle \exp(\mathrm{i}ax)f(x) \quad \overset{\cal{F}}{\longmapsto} \quad \hat{f}(y-a) $

erhält man für alle $ a\in\mathbb{R}$

$\displaystyle 1=\sum_{j\in\mathbb{Z}} f(j)e^{\mathrm{i}ja} = \sum_{l\in\mathbb{... ...} = \frac{1}{\pi^2}\sum_{l\in\mathbb{Z}}\frac{\sin^2(a/2)}{(l-a/(2\pi))^2} \,, $

bzw.

$\displaystyle \frac{\pi^2}{\sin^2(a/2)}= \sum_{l\in\mathbb{Z}}\frac{1}{(l-a/(2\pi))^2}\,. $

Daraus folgt z. B. für $ a=\pi$

$\displaystyle \pi^2$ $\displaystyle = \sum_{l\in\mathbb{Z}}\frac{1}{(l-1/2)^2} = \sum_{l\in\mathbb{Z}}\frac{4}{(2l-1)^2}$    

bzw.


$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$ $\displaystyle = \frac{1}{1^2} +\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots\,.$    

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  automatisch erstellt am 13.11.2013