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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Fourier-Transformation - Fundamentale Sätze

Rekonstruktionssatz

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Hat $ f$ Bandbreite $ h$, d.h. ist

$\displaystyle \hat{f}(y) = 0,\quad \vert y\vert>h \,, $

dann gilt

$\displaystyle f(x) = \sum_{j=-\infty}^\infty f(j\pi/h) \operatorname{sinc}(hx-j\pi) $

mit $ \operatorname{sinc}(t)=\sin t/t$. Funktionen mit endlicher Bandbreite können also aus ihren Werten auf einem genügend feinen Gitter rekonstruiert werden.
Sei zunächst $ h=\pi$. Dann lässt sich $ \hat{f}$ durch das Produkt einer Fourier-Reihe mit der charakteristischen Funktion $ \chi$ des Intervalls $ [-\pi,\pi]$ darstellen:

$\displaystyle \hat{f}(y) = \left( \sum_j c_j e^{\mathrm{i}jy}\right) \chi(y), \... ...c_j = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \hat{f}(y)e^{-\mathrm{i}jy}\,dy \,. $

Da $ f$ Bandbreite $ \pi$ hat, stimmt $ c_j$ mit der inversen Fourier-Transformation überein:

$\displaystyle c_j = f(-j) \,. $

Da $ e^{\mathrm{i}jy}\chi(y)$ die Fourier-Transformation von

$\displaystyle \operatorname{sinc}(\pi(x + j)) $

ist, folgt durch inverse Transformation der obigen Gleichung

$\displaystyle f(x) = \sum_j f(-j)\operatorname{sinc}(\pi(x+j)) \,. $

Ersetzt man $ j$ durch $ -j$, so erhält man also die gewünschte Identität.

Die allgemeine Formel ergibt sich durch Skalierung. Hat $ f$ Bandbreite $ h$, dann hat

$\displaystyle g(x) = f(x\,\pi/h) $

Bandbreite $ \pi$, denn die Fourier-Transformation von $ g$ ist

$\displaystyle \hat{g}(y) = (h/\pi) \hat{f}(y\,h/\pi) \,. $

Nach dem bereits Gezeigten ist

$\displaystyle f(x\,\pi/h) = g(x) = \sum_j g(j) \operatorname{sinc}(\pi(x-j)),\quad g(j) = f(j\,\pi/h) \,, $

und die Substitution $ x\leftarrow x\,h/\pi$ ergibt die allgemeine Rekonstruktionsformel.
Die Funktion

\begin{displaymath} f(x)=\operatorname{sinc}(ax)=\frac{\sin(ax)}{ax},\quad \hat{... ...} \pi/a, & \vert y\vert < a\\ 0, & \vert y\vert >a \end{cases}\end{displaymath}

hat offensichtlich für $ 0<a<1$ die Bandbreite $ h=1$. Also gilt mit dem Rekonstruktionssatz für $ h=1$

$\displaystyle \operatorname{sinc}(ax)=\sum_{j=-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(aj\pi)\operatorname{sinc}(x-j\pi)\,. $

Für $ a=1$ lässt sich diese Identität trivial überprüfen, wenn man berücksichtigt, dass

\begin{displaymath} \operatorname{sinc}(j\pi)= \begin{cases} 1, & j=0\\ 0, & j\ne0 \end{cases}\,. \end{displaymath}

Des Weiteren erhält man z.B. für $ a=1/2$ und $ x=\pi/2$

$\displaystyle \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}=\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$ $\displaystyle =\sum_{j=-\infty}^\infty \frac{\sin(j\pi/2)}{j\pi/2}\,\frac{\sin(\pi/2-j\pi)}{\pi/2-j\pi}$    
  $\displaystyle =\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi^2}\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)(4k+1)}\,.$    

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  automatisch erstellt am 13.11.2013