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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Fourier-Reihen - Komplexe Fourier-Reihen

Fourier-Reihe

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Die komplexe Fourier-Reihe einer $ 2\pi$-periodischen Funktion $ f$ ist die Entwicklung nach dem Orthonormalsystem $ e_k(x) = e^{\mathrm{i}kx}$:

$\displaystyle f(x) \sim \sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k\,e_k(x),\quad c_k = \langle f... ...e_{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(t) \overline{e_k(t)}\,dt \,. $

Die Konvergenz der Reihe hängt von der Glattheit von $ f$ bzw. dem Abfallverhalten der Fourier-Koeffizienten $ c_k$ ab. Hinreichend für gleichmäßige Konvergenz ist $ \sum_k \vert c_k\vert < \infty$.

Es wird die komplexe Fourier-Reihe der $ 2\pi$-periodischen Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2-e^{\mathrm{i}x}} $

gesucht.

Umschreiben von $ f(x)$ liefert

$\displaystyle f(x) =\frac{1}{2}\,\frac{1}{1-e^{\mathrm{i}x}/2}\,, $

und da $ \vert e^{\mathrm{i}x}/2\vert<1$ ist, kann man dies als geometrische Reihe schreiben:

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^\infty \left( \frac{e^{\mathrm{i}x}}{2} \right)^k\,. $

Die Fourier-Reihe von $ f$ ist somit

$\displaystyle f(x) \sim \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^{k+1}} e^{\mathrm{i}kx}\,. $

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  automatisch erstellt am 13.11.2013