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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM III - Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik | |
Wahrscheinlichkeit |
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Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist eine Menge von Elementarereignissen , zusammen mit einer Menge an meßbaren Ereignissen von , denen durch ein Maß (probability) eine Wahrscheinlichkeit für ihr Eintreten zugeordnet wird. Zwei Ereignisse schließen sich hierbei nicht aus, so z.B. treten in das Ereignis, daß man eine Zahl würfelt, und das Ereignis, daß man eine ungerade Zahl würfelt, genau dann beide ein, wenn oder fällt.
Formal haben wir also ein Tripel , , , mit folgenden Eigenschaften.
Einelementige Teilmengen von sind in der Regel meßbar, aber nicht immer. Es könnte, bei beliebigem , z.B. sein.
Davon lassen sich folgende Begriffe ableiten. Sind und in , so heißt
Es heißen die Ereignisse und in unabhängig, falls .
Allgemeiner heißen die Ereignisse in , , unabhängig, falls gilt für alle . Im Unterschied hierzu heißen diese Ereignisse paarweise unabhängig, falls nur stets gilt.
Der naheliegendste Wahrscheinlichkeitsraum im Falle endlich vieler Elementarereignisse ist der Laplacesche Wahrscheinlichkeitsraum. Sei die Anzahl der Elemente in , sei , d.h. jeder Teilmenge von werde eine Wahrscheinlichkeit für ihr Eintreten zugewiesen. Für , welches Elemente enthalte, sei . In anderen Worten, besteht ein Ereignis nur aus einem Elementarereignis, so ist seine Wahrscheinlichkeit .
automatisch erstellt am 21.3.2003 |