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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM III - Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeit


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Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist eine Menge von Elementarereignissen $ \mbox{$\Omega$}$, zusammen mit einer Menge $ \mbox{${\cal{E}}$}$ an meßbaren Ereignissen von $ \mbox{$\Omega$}$, denen durch ein Maß $ \mbox{$P$}$ (probability) eine Wahrscheinlichkeit für ihr Eintreten zugeordnet wird. Zwei Ereignisse schließen sich hierbei nicht aus, so z.B. treten in $ \mbox{$\Omega = \{1, \dots, 6\}$}$ das Ereignis, daß man eine Zahl $ \mbox{$\leq 3$}$ würfelt, und das Ereignis, daß man eine ungerade Zahl würfelt, genau dann beide ein, wenn $ \mbox{$1$}$ oder $ \mbox{$3$}$ fällt.

Formal haben wir also ein Tripel $ \mbox{$(\Omega,{\cal{E}},P)$}$, $ \mbox{${\cal{E}}\subseteq {\operatorname{Pot}}(\Omega)$}$, $ \mbox{$P:{\cal{E}}\longrightarrow [0,1]$}$, mit folgenden Eigenschaften.

Einelementige Teilmengen von $ \mbox{$\Omega$}$ sind in der Regel meßbar, aber nicht immer. Es könnte, bei beliebigem $ \mbox{$\Omega$}$, z.B. $ \mbox{${\cal{E}}= \{\emptyset ,\Omega\}$}$ sein.

Davon lassen sich folgende Begriffe ableiten. Sind $ \mbox{$A$}$ und $ \mbox{$B$}$ in $ \mbox{${\cal{E}}$}$, so heißt

$ \mbox{$\displaystyle
P(A\vert B) \; :=\; \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
$}$
die bedingte Wahrscheinlichkeit von $ \mbox{$A$}$ unter Voraussetzung von $ \mbox{$B$}$.

Es heißen die Ereignisse $ \mbox{$A$}$ und $ \mbox{$B$}$ in $ \mbox{${\cal{E}}$}$ unabhängig, falls $ \mbox{$P(A\cap B) = P(A)P(B)$}$.

Allgemeiner heißen die Ereignisse $ \mbox{$A_i$}$ in $ \mbox{${\cal{E}}$}$, $ \mbox{$1\leq i\leq m$}$, unabhängig, falls $ \mbox{$P(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k}) = P(A_{i_1})\cdots P(A_{i_k})$}$ gilt für alle $ \mbox{$1\leq i_1<i_2<\dots< i_k\leq m$}$. Im Unterschied hierzu heißen diese Ereignisse paarweise unabhängig, falls nur $ \mbox{$P(A_i\cap A_j) = P(A_i)P(A_j)$}$ stets gilt.

Der naheliegendste Wahrscheinlichkeitsraum im Falle endlich vieler Elementarereignisse $ \mbox{$\Omega$}$ ist der Laplacesche Wahrscheinlichkeitsraum. Sei $ \mbox{$n$}$ die Anzahl der Elemente in $ \mbox{$\Omega$}$, sei $ \mbox{${\cal{E}}= {\operatorname{Pot}}(\Omega)$}$, d.h. jeder Teilmenge von $ \mbox{$\Omega$}$ werde eine Wahrscheinlichkeit für ihr Eintreten zugewiesen. Für $ \mbox{$A\subseteq \Omega$}$, welches $ \mbox{$a$}$ Elemente enthalte, sei $ \mbox{$P(A) = a/n$}$. In anderen Worten, besteht ein Ereignis nur aus einem Elementarereignis, so ist seine Wahrscheinlichkeit $ \mbox{$1/n$}$.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

Beispiele

Aufgaben


  automatisch erstellt am 21.3.2003