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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM III - Funktionentheorie

Taylorentwicklung

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Sei $ \mbox{$G\subseteq \mathbb{C}$}$ ein Gebiet, sei $ \mbox{$f:G\longrightarrow \mathbb{C}$}$ eine holomorphe Funktion, sei $ \mbox{$z_0\in G$}$. Sei $ \mbox{$r > 0$}$ so, daß die offene Kreisscheibe $ \mbox{$B_r(z_0)$}$ vollständig in $ \mbox{$G$}$ enthalten ist. Dann ist für $ \mbox{$z\in B_r(z_0)$}$

$ \mbox{$\displaystyle f(z)\; =\; \sum_{j = 0}^\infty \frac{f^{(j)}(z_0)}{j!} (z - z_0)^j\; , $}$
insbesondere konvergiert die Reihe für $ \mbox{$z\in B_r(z_0)$}$ (und für jedes $ \mbox{$\rho\in [0,r)$}$ ist die Konvergenz auf $ \mbox{$B_\rho(z_0)$}$ gleichmäßig).

Man sagt, man entwickelt $ \mbox{$f$}$ um $ \mbox{$z_0$}$ in eine Taylorreihe.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

Beispiele

Aufgaben

  automatisch erstellt am 21.3.2003