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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM III - Funktionentheorie

Maximumprinzip, Satz von Liouville

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Folgende beiden Aussagen verdeutlichen nochmals, wie weit eine holomorphe Funktion davon entfernt ist, eine beliebige Funktion zweier reeller Variablen zu sein.

Maximumprinzip. Sei $ \mbox{$G\subseteq \mathbb{C}$}$ ein Gebiet, sei $ \mbox{$f:G\longrightarrow \mathbb{C}$}$ eine holomorphe Funktion. Es habe $ \mbox{$\vert f(z)\vert$}$ in $ \mbox{$z_0\in G$}$ ein lokales Maximum, d.h. es gibt ein $ \mbox{$\varepsilon > 0$}$ so, daß $ \mbox{$\vert f(z)\vert\leq \vert f(z_0)\vert$}$ für alle $ \mbox{$z$}$ in $ \mbox{$B_\varepsilon (z_0)\subseteq G$}$. Dann ist $ \mbox{$f$}$ konstant.

Satz von Liouville. Sei $ \mbox{$f:\mathbb{C}\longrightarrow \mathbb{C}$}$ eine holomorphe Funktion. Es gebe eine Schranke $ \mbox{$K > 0$}$, so daß $ \mbox{$\vert f(z)\vert \leq K$}$ für alle $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$. Dann ist $ \mbox{$f$}$ konstant.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

Beispiele

Aufgaben

  automatisch erstellt am 21.3.2003