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Mathematik-Online-Kurs: Formelsammlung - Analysis einer Veränderlichen

Integration

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Hauptsatz $ \int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$
   
partielle Integration $ \int f^\prime(x) g(x) = f(x)g(x) - \int f(x) g^\prime(x)\, dx$
   
Substitution $ \int\limits_a^b f(g(x))\,g^\prime(x)\, dx = \int\limits_{g(a)}^{g(b)} f(y)\, dy\,,\qquad y=g(x)\,,dy=g'(x) dx$
   
wichtige Substitutionen $ \sqrt{a^2-x^2}$     Subst.: $ x = a \sin t$
  $ \sqrt{a^2+x^2}$     Subst.: $ x = a \sinh t$
 
$ R(\sin x,\cos x)$ Subst.: $ t = \tan\frac{x}{2}, \; dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt$
    $ \sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \; \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$
   
\begin{tabular}{p{4.5cm}cc\vert cc} Stammfunktionen & $f(x)$\ & $F(x)$\ & $f(x... ...\\ % hline & $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$\ & $\arcsin x$\ & & \\ \end{tabular}


Volumen

Rotationskörper

 Rotation um $ x$-Achse: $ V= \pi\,\int\limits_{a}^{b}f^2(x)\,dx$
  Rotation um $ y$-Achse (für $ f$ monoton wachsend):

$ V= 2\pi\,\int\limits_{0}^{b} x(f(b)-f(x))\,dx$
   
Mantelfläche

Rotationskörper

 $ M= 2\pi\,\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^\prime(x)^2}\,dx$
   
Bogenlänge $ L=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+f^\prime(x)^2}\,dx$, $ L=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{x'(t)^2+y^\prime(t)^2}\,dt$

   
Trapez-Regel $ \int\limits_a^b f(x)\,dx = h\,(f(a)/2 + f(a+h)+\ldots+f(b-h)+f(b)/2) + R_h$
  $ R_h = -\frac{b-a}{12}\, f^{\prime\prime}(\xi)\, h^2, \quad \xi\in(a,b)$

(Autor: M. Reble)
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  automatisch erstellt am 31.1.2006