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Mathematik-Online-Kurs: Formelsammlung - Differentialgleichungen

Lineare Systeme

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 Wronski-Determinante

$ \Gamma^\prime = A(t) \Gamma$

 $ (\operatorname{det} \Gamma)^\prime = \operatorname{Spur} A(t) (\operatorname{det} \Gamma)\,, \quad \Gamma$ Fundamentalmatrix
    
 Variation der Konstanten

$ u^\prime = A(t) u + b(t)$

 Ansatz $ u_p = \Gamma c$ ergibt $ c^\prime = \Gamma^{-1}(t)\;b(t)$ ,

$ u(t) = u_h(t)+u_p(t)=\Gamma(t)\left[\Gamma(t_0)^{-1}u(t_0)+ \int_{t_0}^t\Gamma(s)^{-1}b(s)\,ds \right]$
    
 Konstante Koeffizienten

$ u^\prime(t) = A\,u(t)$

 Ist $ v$ Eigenvektor zum Eigenwert $ \lambda$, dann ist $ u(t) = \exp(\lambda t) \, v$ Lösung.

Bei komplexem Eigenwert $ \lambda = \sigma + \mathrm{i}\varrho$ zu Eigenvektor $ a + \mathrm{i}b$ sind

$ \operatorname{Re} \bigl(\exp(\lambda t)\, v \bigr) = \exp(\sigma t)\bigl( a\cos(\varrho t) - b \sin(\varrho t)\bigr)$ und

$ \operatorname{Im} \bigl(\exp(\lambda t)\, v \bigr) = \exp(\sigma t)\bigl(a\sin(\varrho t) + b \cos(\varrho t)\bigr)$ reelle Lösungen.
    
 Jordan-Form

$ u^\prime(t) = A\, u(t) + b(t)$

 $ Q^{-1}AQ = J$:     Substitution $ u = Qv$ ergibt das System $ v^\prime = Jv + Q^{-1}b$, das sukzessive komponentenweise gelöst werden kann.

Entkoppeltes System $ v_i^\prime = \lambda_i v_i + (Q^{-1}b)_i$ bei diagonalem $ J$
    
 Euler-Differentialgleichung

$ a_n t^{n} u^{(n)}+\dots+a_0 u = f(t)$

 Substitution $ t = e^s\,,\quad v(s) = u(t)$ ergibt lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten für $ v(s)$
    
 Stabilität

$ u^\prime = Au$

 stabil: $ \lim\limits_{t \to \infty} \vert u(t)\vert = 0 \Leftrightarrow \operatorname{Re} \lambda_i < 0 \; \forall \lambda_i $ ,

         für $ (2\times2)$-Matrix: $ \operatorname{det} A > 0 \wedge \operatorname{Spur} < 0$

neutral stabil: $ u(t)$ beschränkt und es gibt Anfangswerte,

         für die $ \vert u(t)\vert$ nicht gegen 0 konvergiert

instabil: $ \lim\limits_{t \to \infty} \vert u(t)\vert = \infty \Leftarrow \exists \lambda_i: \, \operatorname{Re} \lambda_i > 0 $

    
(Autor: Marcus Reble)
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  automatisch erstellt am 31.1.2006