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Mathematik-Online-Kurs: Formelsammlung - Differentialgleichungen

Allgemeine Theorie

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 Satz von Peano

$ u^\prime = f(t,u)\,, u(t_0)=u_0$

 $ f$ stetig: Anfangswertproblem besitzt mindestens eine stetig differenzierbare Lösung

$ f$ Lipschitz-stetig bzgl. $ u$: Lösung des Anfangswertproblems ist eindeutig
    
 Picard-Iteration $ \displaystyle u^{\ell+1}(t) = u_0 + \int_{t_0}^{t} f\left(\tau,u^{\ell}(\tau)\right)\,d\tau\,, \quad u^0(t) = u_0$
    
 Abhängigkeit von Anfangsbedingungen $ \vert v(t)-w(t)\vert \leq \vert v(t_0)-w(t_0)\vert\,\exp\big(L(t-t_0)\big)$

mit $ L$ Lipschitz-Konstante von $ f$ bzgl. $ u$
    
 Abhängigkeit von rechter Seite $ u^\prime = f(t,u)\,,\quad v^\prime = g(t,v)$,     mit $ u(t_0) = v(t_0)$

$ \vert u(t)-v(t)\vert \leq \varepsilon(t-t_0)\,\exp\big(L(t-t_0)\big)$ mit

$ \varepsilon = \max\limits_{(s,w)\in\,D}\vert f(s,w)-g(s,w)\vert$
    
 Reduktion der Ordnung

$ u'' = f(u,u')$

 Substitution $ u' = v(u)$ liefert $ v\,\dfrac{dv}{du} = f(u,v)$
    
 Stabilität

$ u^\prime = f(u)$

 Kritischer Punkt $ u_*$: $ f(u_*) = 0$

Linearisierung: $ v^\prime = f^\prime(u_*)\,v$ mit $ v=u-u_*$

stabil: $ \lim\limits_{t \to \infty} u(t) = u_*\,,u(0) \approx u_* \ \Leftarrow \ \operatorname{Re} \lambda_i < 0 \ \forall \lambda_i $

nicht stabil $ \Leftarrow \ \exists \lambda_i: \; \operatorname{Re} \lambda_i > 0$

mit $ \lambda_i$ den Eigenwerten von $ f^\prime(u_*)$
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  automatisch erstellt am 31.1.2006