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Mathematik-Online-Kurs: Formelsammlung - Vektoranalysis

Integration


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 Parametrisierung Kurve $ C:\ [a,b]\ni t\mapsto \vec{r}\,(t)$

Fläche $ S:\ D\ni (u,v)\mapsto \vec{r}\,(u,v)$

    
 Kurvenintegral $ \displaystyle\int\limits_C U = \displaystyle\int\limits_a^b U\big(\vec{r}\,(t)\big)\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert\,dt$
    
 Arbeitsintegral $ \displaystyle\int\limits_C \vec{F} \cdot d\vec{r} =
\displaystyle\int\limits_a^b \vec{F}\big(\vec{r}\,(t)\big) \cdot \vec{r}\,'(t) \;dt$
    
 Flächenintegral $ \displaystyle\iint\limits_S U \,dS =
\displaystyle\iint\limits_D U\big(\vec...
...ert \,du\,dv \,,
\quad \vec{n} = \partial_u \vec{r} \times \partial_v \vec{r}$
    
 Flussintegral $ \displaystyle\iint\limits_S \vec{F} \cdot d\vec{S} =
\displaystyle\iint\lim...
...) \,du\,dv \,,
\quad \vec{n} = \partial_u \vec{r} \times \partial_v
\vec{r}$
    
 Fluss durch Funktionsgraph $ \displaystyle\iint\limits_S \vec{F} \cdot d\vec{S} =
\displaystyle\iint\limits_D
-F_x\partial_x f - F_y \partial_y f + F_z
\,dx\,dy \,, \quad z = f(x,y)$
    
 Fluss durch Zylindermantel $ \varrho = \varrho(\varphi) : \quad
\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}
{\d...
...}}}
F_\varrho \varrho - F_\varphi \partial_\varphi \varrho
\,dz\, d\varphi$

$ \varrho = \varrho(z) : \quad
\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\displaystyle\...
...z_{\max}}
F_\varrho \varrho - F_z \varrho \partial_z \varrho
\,dz\,d\varphi$

speziell $ 2\pi a (z_{\max}-z_{\min}) f(a)$ für $ \vec{F} =
f(\varrho)\vec{e}_\varrho$ mit $ \varrho = a$

    
 Fluss durch Kugeloberfläche $ \displaystyle\int\limits_0^\pi\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}
F_r a^2 \sin\vartheta\, d\varphi d\vartheta$ mit $ r = a$

speziell $ 4\pi a^2 f(a)$ für $ \vec{F} = f(r)\vec{e}_r$

    

 vektorielle

Kurvenintegrale

$ \displaystyle
\int\limits_C \vec{F} =
\int\limits_a^b \vec{F}\big(\vec{r}\,...
... F_x\ , \
\int\limits_C F_y\ , \
\int\limits_C F_z
\right)^{\operatorname t}$
   $ \displaystyle
\int\limits_C \vec{F}\times d\vec{r} =
\int\limits_a^b \vec{F}...
...z\right)\\
\int\limits_C \left(F_x\,dy-F_y\,dx\right)
\end{array}
\right)
$
    
 vektorielle

Flächenintegrale

$ \displaystyle
\iint\limits_S \vec{F} dS =
\left(
\iint\limits_S F_x\, dS\ ,...
...iint\limits_S F_y\, dS\ , \
\iint\limits_S F_z\, dS
\right)^{\operatorname t}$

$ \displaystyle\iint\limits_S U d\vec{S} = \iint\limits_S U(\vec{r}\,)\, \vec{n}^{\,\circ}\,
dS$

$ \displaystyle\iint\limits_S \vec{F} \times d\vec{S} = \iint\limits_S \vec{F}(\vec{r}\,)
\times \vec{n}^{\,\circ}\,dS$

 Satz von Gauß $ \displaystyle\iiint\limits_V \operatorname{div} \vec{F} \, dV
= \displaystyle\iint\limits_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$

$ \displaystyle\iiint\limits_V \operatorname{grad} U \, dV
= \displaystyle\iint\limits_S U \, d\vec{S}$

$ \displaystyle\iiint\limits_V \operatorname{rot} \vec{F} \, dV
= - \displaystyle\iint\limits_S \vec{F} \times d\vec{S}$

$ \displaystyle\iint\limits_A \operatorname{div} \vec{F} \, dA
= \displaystyle\int\limits_C \vec{F} \times d\vec{r}\,,\quad
A\subset \mathbb{R}^2$

    
 Greensche Integralformeln $ \displaystyle\iint\limits_S (U \operatorname{grad} W) \cdot d\vec{S}
= \disp...
...
\operatorname{grad} U \cdot \operatorname{grad} W + U \Delta W
\bigr)\,dV$

$ \displaystyle\iint\limits_S \bigl(
U \operatorname{grad} W - W \operatorname...
...cdot d\vec{S}
= \displaystyle\iiint\limits_V (U\Delta W - W \Delta U ) \, dV$

    
 Satz von Stokes $ \displaystyle\iint\limits_S (\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot d\vec{S}
= \displaystyle\int\limits_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$

$ -\displaystyle\iint\limits_S (\operatorname{grad} U) \times d\vec{S}
= \displaystyle\int\limits_C U\, d\vec{r}$

$ \displaystyle\iint\limits_A \operatorname{rot} \vec{F} \,dA = \displaystyle\int\limits_C
\vec{F}\cdot \,d\vec{r}\,,\quad
A\subset \mathbb{R}^2$

    

 Skalares Potential Skalarfeld $ U$ mit $ \operatorname{grad} U = \vec{F}$

notwendige Bedingung für Existenz: $ \operatorname{rot} \vec{F} =
\vec 0$, hinreichend auf einfach zusammenhängenden Gebieten $ D$

   $ C$ ein beliebiger, in $ D$ von $ A$ nach $ B$ verlaufender Weg:

$ \displaystyle\int\limits_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = U(B) - U(A)\ \Rightarrow$ Wegunabhängigkeit des Integrals

    
 Vektorpotential Vektorfeld $ \vec{A}$ mit $ \operatorname{rot}\vec{A} = \vec{F}$

notwendige Bedingung für Existenz: $ \operatorname{div}\vec{F}=0$, hinreichend auf einfach zusammenhängenden Gebieten

(Autoren: Reble/Wipper)

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  automatisch erstellt am 31.1.2006