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Mathematik-Online-Kurs: Formelsammlung - Komplexe Analysis

Differentialgleichungen

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Regulärer Punkt Die Differentialgleichung $ r(z)u''(z)+q(z)u'(z)+p(z)u(z) = 0$ ist bei $ a$ regulär, wenn $ q/r$ und $ p/r$ analytisch in einer Umgebung von $ a$ sind.

Entwicklung: $ u=\sum\limits_{n=0}^\infty u_n(z-a)^n$

Rekursion: $ u_n = f_n(u_{n-1},u_{n-2},\dots,u_0)\,,\,n\geq 2$

mit durch Anfangsbedingungen $ u_0=u(a)$ und $ u_1=u'(a)$ eindeutig bestimmten Koeffizienten $ u_n$
   
Singulärer Punkt Die Differentialgleichung $ r(z)u''(z)+q(z)u'(z)+p(z)u(z) = 0$ hat bei $ a$ einen regulären singulären Punkt, wenn $ q/r = q_0/(z-a)+O(1)$ und $ p/r=p_0/(z-a)^2+O(1/(z-a))$.

Charakteristische Gleichung: $ \varphi(\lambda)=\lambda(\lambda-1)+q_0\lambda+p_0 = 0$

Entwicklung: $ u=(z-a)^\lambda \sum\limits_{n=0}^\infty u_n(z-a)^n\,,\ u_0\neq 0$

Rekursion: $ \varphi(\lambda+n)u_n = f_n(u_{n-1},u_{n-2},\dots,u_0)\,,\,n\geq 1$

Differenz der Nullstellen ganzzahlig: eine Lösung zur Nullstelle mit größtem Realteil, zweite Lösung mit Variation der Konstanten
   
Hypergeometrische Differentialgleichung $ z(1-z)u''(z) + \big(c-(a+b+1)z\big)u'(z)-abu(z) = 0,$ $ -c\notin\mathbb{N}_0$

$ u(z) = F(a,b,c,z) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n (1)_n} z^n\,,\quad (t)_n = t(t+1)\cdots(t+n-1)$
   
Bessel-Differentialgleichung $ z^2 u''(z)+zu'(z)+(z^2-\alpha^2)u(z) = 0\,,\ \alpha \notin \mathbb{Z}$

linear unabhängige Lösungen:

$ \displaystyle J_{\pm \alpha} = \left(\frac{z}{2}\right)^{\pm\alpha} \,\sum\lim... ...\infty \frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(\pm\alpha+n+1)}\,\left(\frac{z}{2}\right)^{2n}$
   
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  automatisch erstellt am 31.1.2006