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Mathematik-Online-Kurs: Formelsammlung - Analysis einer Veränderlichen

Folgen und Reihen

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Konvergenz $ \forall \, \varepsilon > 0 \; \exists \, n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \,:\; \forall \, n > n_{\varepsilon} \quad \vert a_n - a\vert<\varepsilon $

$ a$ heißt Grenzwert von $ a_n$:      $ a = \lim\limits_{n\to \infty} a_n$
   
Konvergenz-Ordnung $ p$ $ \vert a_{n+1} - a_n\vert \leq c \, \vert a_n-a\vert^p$
   
Cauchy-Kriterium $ \forall \, \varepsilon > 0 \; \exists \, n_{\varepsilon} \in \mathbb{N} \,:\; \forall \, n,m > n_{\varepsilon} \quad \vert a_n - a_m\vert<\varepsilon $
   
Monotonie-Kriterium beschränkte, monotone Folgen sind konvergent
   
Vergleichs-Kriterium $ a_n \leq b_n \leq c_n, \quad a_n \to a$ und $ c_n \to a \Rightarrow b_n \to a$
   

\begin{tabular}{p{4.5cm}rcl\vert rcl} Spezielle Grenzwerte & $ (1+\frac{a}{n})... ...uad (a>1)$\ \\ & $a^n\, n^k $&$\to$&$ 0 \quad (\vert a\vert<1)$ \end{tabular}


Notw. Kriterium für

Konvergenz bei Reihen

 $ \lim\limits_{n\to \infty} a_n = 0$
   
Majorantenkriterium $ \vert a_n\vert<b_n$ und $ \sum b_n$ konvergiert
   
Quotientenkriterium $ \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert \leq q < 1$
   
Wurzelkriterium $ \sqrt[n]{\vert a_n\vert} \leq q < 1$
   
Vergleichskriterium $ a_n, b_n > 0, \; a_n/b_n \to c > 0$

$ \Rightarrow a_n, b_n$ haben gleiches Konvergenzverhalten
   
Integral-Kriterium $ a_n = f(n)$ und $ f(x)$ monoton fallend

$ \Rightarrow \int\limits_c^\infty f(x)\,dx$ und $ \sum\limits_n a_n$ haben gleiches Konvergenzverhalten
   
Leibniz-Kriterium $ a_n$ alterniert und $ \vert a_n\vert$ ist monotone Nullfolge


\begin{tabular}{p{4.5cm}rcl\vert rcl} Spezielle Reihen & $\sum\limits_{k=1}^{n... ... konvergent für $\alpha >1 $, divergent für $\alpha \leq 1 $ } \end{tabular}

(Autor: M. Reble)
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  automatisch erstellt am 31.1.2006