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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Funktionen - Grundfunktionen

Gebiet

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Eine zusammenhängende offene Teilmenge $ D$ des $ \mathbb{R}^n$ oder $ \mathbb{C}^n$ wird als Gebiet bezeichnet.

Meist werden an den Rand eines Gebietes (sofern er nicht leer ist) gewisse minimale Regularitätsanforderungen gestellt. Beispielsweise fordert man für ein Lipschitz-Gebiet $ D$, dass sich der Rand $ \partial D$ lokal als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion darstellen lässt.

Die folgenden Abbildungen zeigen einige in der komplexen Analysis häufig auftretende Gebiete. (Die eingezeichneten Randkurven verdeutlichen die Schranken der Gebiete, gehören aber nicht dazu.)

Kreisscheibe      Kreisring
$ D: \vert z\vert < r$      $ D: r_1<\vert z\vert < r_2$
\includegraphics[width=.4\linewidth]{Gebiet_Kreisscheibe.eps}      \includegraphics[width=.4\linewidth]{Gebiet_Kreisring.eps}
     

Halbebene      Streifen
$ D: \operatorname{Im} z >0 $      $ D: b < \operatorname{Im} z < a $
\includegraphics[width=.4\linewidth]{Gebiet_Halbebene.eps}      \includegraphics[width=.4\linewidth]{Gebiet_Streifen.eps}
     

Sektor      geschlitzte Ebene
$ D: \alpha < \operatorname{arg}(z) < \beta\,,\, 0 < \vert z\vert < r $      $ D: -\pi < \operatorname{arg}(z) < \pi\,,\,\vert z\vert > 0 $
\includegraphics[width=.4\linewidth]{Gebiet_Sektor.eps}      \includegraphics[width=.4\linewidth]{Gebiet_geschlitzte_Ebene.eps}
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  automatisch erstellt am 21.11.2013