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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Funktionen - Grundfunktionen

Komplexe Funktion

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Eine komplexe Funktion mit Definitionsgebiet $ D\subseteq \mathbb{C}$ ordnet einer komplexen Zahl $ z\in D$ eine komplexe Zahl $ w=f(z)$ zu:

$\displaystyle f: \mathbb{C} \supseteq D \to \mathbb{C} \,. $

Sie kann mit zwei bivariaten reellen Funktionen identifiziert werden:

$\displaystyle f(z) = u(x,y) + \mathrm{i} v(x,y),\quad z = x+\mathrm{i} y \,, $

d.h. $ u=\operatorname{Re}f$ und $ v=\operatorname{Im}f$.

Die Funktion $ f(z)= z^2$ hat mit $ z=x+\mathrm{i}y$ die Darstellung

$\displaystyle f(x+\mathrm{i}y)=(x+\mathrm{i}y)^2=x^2+2x\mathrm{i}y-y^2\,. $

Folglich ist

$\displaystyle u(x,y)=x^2-y^2\,,\quad v(x,y)=2xy\,, $

bzw.

$\displaystyle f(z) = r^2 e^{2\mathrm i\varphi} $

für $ z = re^{\mathrm{i}\varphi}$.
Eine Darstellung der Wurzelfunktion $ f(z)=\sqrt{z}$ kann mit Hilfe der Polarform gewonnen werden. Für $ z=r \,\mathrm{exp}(\mathrm{i}\varphi) = x+\mathrm{i}y$ und $ w=f(z)=s\,\mathrm{exp}(\mathrm{i}\psi) = u+\mathrm{i}v$ gilt

$\displaystyle z=w^2 \qquad \Longleftrightarrow \qquad s=\sqrt{r}$    und $\displaystyle \quad \psi\in\{\varphi/2,\pi+\varphi/2\}\,. $

Wie im Reellen gibt es also für $ z \neq 0$ zwei mögliche Werte für $ w$, die sich um ein Vorzeichen unterscheiden. Man sagt, die Wurzelfunktion ist mehrdeutig und besitzt zwei verschiedene Zweige.

Für den Real- und Imaginärteil von $ w$ gilt

$\displaystyle \frac{v}{u} = \tan\psi = \tan(\varphi/2) = \frac{\sin\varphi}{1+\cos\varphi} = \frac{y/r}{1+x/r} = \frac{y}{r+x} =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x} $

und damit

$\displaystyle (u,v) \parallel \left( x+\sqrt{x^2+y^2},y \right)\,. $

Wegen $ \sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{r}$ ist

$\displaystyle (u,v)= \pm\, \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{\vert(x+r,y)\vert}}\,\left(x+r,y\right)\,, $

und mit

$\displaystyle \vert(x+r,y)\vert=\sqrt{2r^2+2rx}=\sqrt{2}\,\sqrt{r}\,\sqrt{r+x} $

und

$\displaystyle y/\sqrt{r+x}=y\sqrt{r-x}/\sqrt{r^2-x^2} $

folgt schließlich

$\displaystyle (u,v)= \pm\,\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\sqrt{r+x}\,,\operatorname{sign}(y)\sqrt{r-x}\right)\,, $

wobei für den Hauptzweig das positive Vorzeichen gewählt wird:

$\displaystyle \operatorname{arg}(\sqrt{z})\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\,.$

Bei der Definition der Wurzelfunktion ist zu beachten, dass bei einer konsistenten Wahl des Vorzeichens (z.B. für den Hauptzweig) der Grenzwert bei Annäherung an die negative reelle Achse von oben sich von dem Grenzwert bei Annäherung von unten unterscheidet. Das Definitionsgebiet $ D$ sollte also keine geschlossene Kurve um den Ursprung enthalten. Beispielsweise kann der Sektor

$\displaystyle D \,: \quad -\pi < \operatorname{arg} z < \pi\,, \quad \left\vert z \right\vert>0\,, $

gewählt werden.
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  automatisch erstellt am 21.11.2013