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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Integration - Fundamentale Sätze

Umlaufzahl

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Für einen stückweise differenzierbaren, geschlossenen Weg $ C$ definiert man für $ a\notin C$

$\displaystyle n(C,a) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int\limits_C \frac{dz}{z-a} $

als die Umlaufzahl von $ C$ bezüglich $ a$.

\includegraphics[width=.25\moimagesize]{a_umlaufzahl_1}   \includegraphics[width=.25\moimagesize]{a_umlaufzahl_2}   \includegraphics[width=.25\moimagesize]{a_umlaufzahl_3}
$ n(C,a)=0$   $ n(C,a)=1$   $ n(C,a)=2$

Anschaulich gibt $ n(C,a)$ an, wie oft $ C$ den Punkt $ a$ umrundet.

Für eine Parametrisierung $ t\mapsto z(t),\ t_0\le t\le t_1$ von $ C$ ist zu zeigen, dass

$\displaystyle \varphi(t) = \int\limits_{t_0}^t \dfrac{z'(s)}{z(s)-a}\,ds $

für $ t=t_1$ ein Vielfaches von $ 2\pi\mathrm{i}$ ist.

Dazu wird die Funktion

$\displaystyle p(t) = \exp\big(-\varphi(t)\big) \big(z(t)-a\big) $

betrachtet. Nach der Produkt- und Kettenregel ist

$\displaystyle p' = p\dfrac{-z'}{z-a} + \dfrac{p}{z-a}\,z' = 0 $

bis auf Sprungstellen von $ z'$. Also ist $ p$ konstant und

$\displaystyle \exp\big(\varphi(t_1)\big) = \dfrac{z(t_1)-a}{p(t_1)} = \dfrac{z(t_1)-a}{p(t_0)} = 1\,, $

da $ p(t_0) = z(t_0)-a$ und $ z(t_0)=z(t_1)$. Dies bedeutet aber, dass $ \varphi(t_1)$ ein ganzzahliges Vielfaches von $ 2\pi\mathrm{i}$ sein muss.
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  automatisch erstellt am 21.11.2013