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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Integration - Fundamentale Sätze

Cauchysches Theorem

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Ist $ f$ bis auf endlich viele schwache Singularitäten analytisch in einem Gebiet $ D$, dann gilt

$\displaystyle \int\limits_C f\,dz = 0 $

für jede geschlossene Kurve $ C$, die in $ D$ zu einem Punkt homotop ist.

Zur Illustration der Beweisidee wird angenommen, dass die Kurve $ C$ ein Rechteck $ R$ in $ D$ berandet und $ f$ analytisch ist.

Im Folgenden wird die Abkürzung

$\displaystyle s(R)=\int\limits_{\partial R} f\,dz $

für das Integral über den entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Rand eines Rechtecks verwendet.
\includegraphics[width=.3\linewidth]{e_cauchy}
Das Rechteck $ R$ wird nun in vier kongruente Rechtecke $ R'$, $ R''$, $ R'''$ und $ R''''$ aufgeteilt, und es folgt

$\displaystyle s(R)=s(R')+s(R'')+s(R''')+s(R'''')\,, $

da sich die Integrale auf den mehrfach durchlaufenen Wegstücken aufheben. Es ist klar, dass für mindestens eines dieser Teil-Rechtecke (im Folgenden mit $ R_1$ bezeichnet)

$\displaystyle \vert s(R_1)\vert\ge \frac{1}{4}\vert s(R)\vert $

gilt. Iteriert man diesen Prozess, so erhält man eine Folge

$\displaystyle R=R_0\supset R_1\supset R_2 \supset \cdots \supset R_j\supset\cdots $

mit

$\displaystyle \vert s(R_j)\vert\ge\frac{1}{4}\vert s(R_{j-1})\vert\ge \dots \ge 4^{-j}\vert s(R_0)\vert\,. $

Die Folge dieser Rechtecke $ R_j$ konvergiert gegen einen Punkt $ z_\star$, d.h.

$\displaystyle \forall\delta>0\quad\exists j(\delta):\quad R_j\subset \{z: \vert z-z_\star\vert < \delta\}$   für $\displaystyle j>j(\delta)\,. $

Da $ f$ komplex differenzierbar ist, gilt weiter

$\displaystyle \forall\varepsilon>0\quad\exists\delta(\varepsilon):\quad \vert f(z)-f(z_\star)-f'(z_\star)(z-z_\star)\vert < \varepsilon\vert z-z_\star\vert$   für $\displaystyle \quad\vert z-z_\star\vert<\delta\,. $

Mit Hilfe von

$\displaystyle \int\limits_{\partial R_j}f(z_\star)\,dz = \int\limits_{\partial R_j}f'(z_\star)(z-z_\star)\,dz=0 $

erhält man für $ j>j(\delta(\varepsilon))$

$\displaystyle \vert s(R_j)\vert = \left\vert\,\int\limits_{\partial R_j}f(z)-f(... ...n\int\limits_{\partial R_j}\vert z-z_\star\vert\,dz\le \varepsilon d_j L_j \,, $

wobei $ d_j$ die Länge der Diagonale und $ L_j$ die Länge des Randes von $ R_j$ bezeichnet. Für das ursprüngliche Integral folgt damit

$\displaystyle \vert s(R_0)\vert\le 4^j\vert s(R_j)\vert \le \varepsilon 4^jd_j L_j =\varepsilon d_0 L_0\,, $

und da $ \varepsilon$ beliebig gewählt war,

$\displaystyle \vert s(R)\vert=0\,. $

Der allgemeine Fall erfordert noch einige zusätzliche Überlegungen, bei denen insbesondere die topologische Form des Gebietes $ D$ berücksichtigt werden muss.

Zur Illustration von Cauchys Theorem wird

$\displaystyle f(z)=(z-a)^n \,, \; n \in \mathbb{N}_0\,, $

betrachtet. Für den Kreis

$\displaystyle C:\quad z(t)=a+re^{\mathrm{i}t},\quad 0\le t \le 2\pi \,, $

erhält man

$\displaystyle \int\limits_C f\,dz$ $\displaystyle =\int\limits_0^{2\pi}(z(t)-a)^nz'(t)\,dt$    
  $\displaystyle =\int\limits_0^{2\pi}r^n e^{\mathrm{i}nt}r\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,dt$    
  $\displaystyle = \left[r^{n+1} \frac{1}{n+1}e^{\mathrm{i}(n+1)t}\right]_0^{2\pi}=0$    

im Einklang mit Cauchys Theorem.

Oft lassen sich Kurvenintegrale auf direktem Wege nicht explizit berechnen. Beispielsweise erhält man für

$\displaystyle f(z)=e^{z^2} $

mit obigem Kreis das Integral

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi}e^{(a+re^{\mathrm{i}t})^2}r\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,dt\,, $

das sich nicht explizit berechnen lässt. Aus Cauchys Theorem folgt jedoch $ \int_C f\,dz=0$.
Spaltet man $ \int_C f\,dz$ in Real- und Imaginärteil auf,

$\displaystyle \int\limits_C (u + \mathrm{i}v)(dx+\mathrm{i}dy) = \int\limits_C (udx - vdy) + \mathrm{i}\int\limits_C (udy + vdx) \,, $

so folgt mit $ C=\partial D$ aus dem Satz von Green, dass

$\displaystyle \int\limits_C f\,dz = -\int\limits_D (u_y+v_x)\,dxdy + \mathrm{i}\int\limits_D (u_x-v_y)\,dxdy \, $

ist. Beide Integrale verschwinden aufgrund der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Allerdings muss die Stetigkeit der partiellen Ableitungen von $ u$ und $ v$ vorausgesetzt werden. Die Stetigkeit von $ f'$ wird jedoch im Allgemeinen mit dem zu beweisenden Satz von Cauchy gezeigt.

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  automatisch erstellt am 21.11.2013