Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Integration - Lokale Eigenschaften analytischer Funktionen

Maximumprinzip

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Für eine in einem Gebiet $ D$ analytische, nicht konstante Funktion $ f$ besitzt $ \vert f\vert$ kein Maximum in $ D$. Ist $ f$ auf $ \overline{D} = D\cup C$ stetig, wobei $ C=\partial D$ der Rand von D ist, so gilt deshalb

$\displaystyle \max_{z\in D} \vert f(z)\vert \le \max_{z\in C} \vert f(z)\vert \,, $

d.h. das Maximum des Betrages wird auf dem Rand angenommen.
Man zeigt zunächst, dass $ f$ auf jedem Kreis $ C\subset D$ um ein Maximum $ z$ von $ \vert f\vert$ konstant gleich $ f(z)$ ist. Dabei kann man nach Multiplikation mit einer Konstanten $ e^{\mathrm{i}\varphi}$ o. B. d. A. annehmen, dass $ f(z)$ reell und positiv ist (im Fall $ \vert f(z)\vert=0$ ist die Behauptung trivial).

Nimmt man an, dass $ f(w)\ne f(z)$ für ein $ w=z+re^{\mathrm{i}t}\in C$, so folgt aus

$\displaystyle \operatorname{Re} f(w) < f(z)=\operatorname{Re} f(z) $

und der Mittelwerteigenschaft für den Realteil von $ f$ der Widerspruch

$\displaystyle f(z) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \operatorname{Re} f(z+r e^{\mathrm{i}t})\,dt < f(z) \,. $

Damit ist insbesondere gezeigt, dass $ f$ in einer Umgebung eines Maximums von $ \vert f\vert$ konstant ist. Die Menge der $ w\in D$ mit $ f(w)=f(z)$ ist also offen. Da sie ebenfalls abgeschlossen ist, muss $ f$ auf ganz $ D$ konstant sein.

Zur Illustration des Maximumprinzips wird die Funktion

$\displaystyle \cos(z)=\frac{1}{2}(e^{\mathrm{i}z}+e^{-\mathrm{i}z})$

auf dem Rechteck

$\displaystyle D:\,\, x=\operatorname{Re}\,z\in [-\pi,\pi],\,\, y=\operatorname{Im}\,z\in [-1,1]$

betrachtet. Man erhält
$\displaystyle \vert\cos(z)\vert^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos(z) \overline{\cos(z)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{4}(e^{\mathrm{i}x}e^{-y}+e^{-\mathrm{i}x}e^{y})(e^{-\mathrm{i}x}e^{-y}+e^{\mathrm{i}x}e^y)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{4}(e^{-2y}+2\cos(2x)+e^{2y}).$  

Das Maximum wird also auf dem Rand, für $ x\in \{-\pi,0,\pi \}$, $ y\in\{-1,1\}$, angenommen.
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 21.11.2013