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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Komplexe Integration - Lokale Eigenschaften analytischer Funktionen

Abschätzungen für komplexe Ableitungen

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Ist $ f$ auf einer Kreisscheibe mit Radius $ >r$ um $ z$ analytisch, so gilt

$\displaystyle \vert f^{(n)}(z)\vert \le \frac{n!}{r^n}\, \max_{\vert w-z\vert=r} \vert f(w)\vert \,. $

Verwendet man in der Integralformel für Ableitungen

$\displaystyle f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_C \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\,dw $

für $ C$ einen Kreis um $ z$ mit der Parametrisierung

$\displaystyle C:\quad w(t)=z+re^{\mathrm{i}t},\quad 0\le t\le 2\pi, $

so erhält man

$\displaystyle \left\vert f^{(n)}(z)\right\vert$ $\displaystyle =\left\vert \frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\int\limits_0^{2\pi} \frac{f... ...{i}t})}{r^{n+1}e^{(n+1)\mathrm{i}t}} \mathrm{i}re^{\mathrm{i}t} \,dt\right\vert$    
  $\displaystyle \le \frac{n!}{r^n} \frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} \vert f(z+r... ...hrm{i}t})\vert\,dt \le \frac{n!}{r^n}\max_{\vert w-z\vert=r} \vert f(w)\vert\,.$    

Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z} $

mit den Ableitungen

$\displaystyle f^{(n)}(z)=(-1)^n n! z^{-(n+1)} $

auf einer Kreisscheibe um $ z\ne0$ mit Radius $ r<\vert z\vert$ betrachtet.

Mit Hilfe der Abschätzungen für komplexe Ableitungen erhält man

$\displaystyle \vert f^{(n)}(z)\vert = n!\,\vert z\vert^{-(n+1)} \le \frac{n!}{r... ...ax_{\vert w-z\vert=r} \vert f(w)\vert=\frac{n!}{r^n}\,\frac{1}{\vert z\vert-r} $

bzw.

$\displaystyle r^n(\vert z\vert-r) \le \vert z\vert^{n+1}\,. $

Diese Abschätzung lässt sich leicht verifizieren, wenn man $ r<\vert z\vert$ bzw. $ r^n<\vert z\vert^n$ und $ \vert z\vert-r \le \vert z\vert$ berücksichtigt.

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  automatisch erstellt am 21.11.2013