Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis-Potenzreihen-Differentialgleichungen-Hypergeometrische Differentialgleichung

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	Hypergeometrische Differentialgleichung

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Die Differentialgleichung

$\displaystyle z(1-z)u''(z) + (c-(a+b+1)z) u'(z) - ab u(z)=0$

besitzt bei $z=0,1,\infty$ reguläre Singularitäten. Für $-c\notin \mathbb{N}_0$ existiert eine analytische Lösung, die sogenannte hypergeometrische Funktion

$\displaystyle u(z) = F(a,b,c,z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n (1)_n}\,z^n$

mit

und $(t)_n=t(t+1)\cdots(t+n-1)$ für $n \geq 1$ .

Schreibt man die Differentialgleichung als

$\displaystyle u''(z)+q(z)u'(z)+p(z)u(z)=0$

mit

$\displaystyle q(z)$	$\displaystyle =\frac{c}{z}+\frac{1+a+b-c}{z-1}\,,$
$\displaystyle p(z)$	$\displaystyle =\frac{ab}{z(z-1)}\,,$

kann man direkt ablesen, dass 0 und

reguläre singuläre Punkte sind.

Nach der Transformation erhält man

$\displaystyle \tilde{u}''(t)+\tilde{q}(t)\tilde{u}'(t)+\tilde{p}(t)\tilde{u}(t)=0$

mit

$\displaystyle \tilde{q}(t)$	$\displaystyle =\frac{2}{t}-\frac{ct+\frac{(1+a+b-c)t}{1-t}}{t^2} =\frac{2-c}{t}-\frac{1+a+b-c}{t(1-t)}\,,$
$\displaystyle \tilde{p}(t)$	$\displaystyle =\frac{\frac{abt^2}{1-t}}{t^4}=\frac{ab}{t^2(1-t)}\,,$