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Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen - Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung

Charakteristische Kurven einer quasi-linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

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Für die partielle Differentialgleichung

$\displaystyle u_t+a^{\operatorname t}(x,t,u){\operatorname{grad}_x\,} u=f(x,t,u) $

für $ u(x_1,\ldots,x_n,t)$ mit stetig differenzierbaren Funktionen $ a_\nu$ und $ f$ bezeichnet man die durch das System gewöhnlicher Differentialgleichungen

$\displaystyle \xi^\prime(t)=a(\xi(t),t,p(t)),\quad p^\prime(t) = f(\xi(t),t,p(t)) $

definierten Kurven $ t\mapsto(\xi(t),t,p(t))$ als charakteristische Kurven. Sie liegen auf dem Graph einer stetig differenzierbaren Lösung. Entlang dieser Kurven kann $ p(t) = u(\xi(t),t)$ aus einem Anfangswert $ p(t_0)$ durch Integration berechnet werden.

Ist $ f=0$ und hängt $ a$ nur von $ u$ ab, so sind die charakteristischen Kurven Geraden, entlang derer $ u=p$ einen konstanten Wert hat.

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  automatisch erstellt am 5.5.2011