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Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen - Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung

Cauchy-Problem für eine lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung

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Das Cauchy-Problem

$\displaystyle u_t + a^{\operatorname t}(x,t)\operatorname{grad}_x u = \alpha(x,t) u + f(x,t),\quad u(x,0) = \varphi(x) $

mit stetig differenzierbaren Funktionen $ a_\nu, \alpha, f$ von $ n+1$ Variablen $ (x_1,\ldots,x_n,t)$ besitzt in der Umgebung jedes Punktes $ (x,0)$ eine eindeutige Lösung. Entlang der von $ (x,0)$ ausgehenden Charakteristik kann sie durch Integration der charakteristischen Differentialgleichungen

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \xi^\prime(t) &=& a(\xi(t),t),\quad \xi(0... ...i(t),t) p(t) + f(\xi(t),t),\quad p(0) = \varphi(x) \end{array}\end{displaymath}

bestimmt werden: $ u(\xi(t),t)=p(t)$.

(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)
Für das Cauchy-Problem

$\displaystyle u_t+(x-y)u_x+(x+y)u_y=0\ ,\quad u(x,y,0)=xy $

lauten die charakteristischen Differentialgleichungen

\begin{displaymath} \begin{array}{lcl} \xi^\prime=\xi-\eta & ,\quad & \xi(0)=... ... & \eta(0)=y \\ p^\prime=0 & ,\quad & p(0)=xy \end{array} \end{displaymath}

mit der Lösung
$\displaystyle \xi(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^t(x\cos t-y\sin t)$  
$\displaystyle \eta(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^t(y\cos t+x\sin t)$  
$\displaystyle p(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle xy\,.$  

Aus $ p(t)=u(\xi(t),\eta(t),t)=xy$ folgt dann durch Auflösen der Gleichungen für $ \xi$ und $ \eta$ nach $ x$ und $ y$
$\displaystyle u(\xi,\eta,t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (e^{-t}(\xi\cos t+\eta\sin t))(e^{-t}(-\xi\sin t+\eta\cos t))$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-2t}((\eta^2-\xi^2)\cos t\sin t+\xi\eta(\cos^2t-\sin^2t))\,.$  

(Autor: Kimmerle)
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  automatisch erstellt am 5.5.2011