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Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen - Poisson-Gleichung

Fundamentallösung der Poisson-Gleichung im Raum

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Die Funktion

$\displaystyle -\frac{1}{4\pi}\frac{1}{r}\ ,\quad r=\vert(x_1,x_2,x_2)\vert\ , $

ist eine Fundamentallösung der Poisson-Gleichung

$\displaystyle \Delta u(x)=f(x)\ ,\quad x\in\mathbb{R}^3\,, $

d.h. es gilt

$\displaystyle \Delta\frac{1}{r}=0\ ,\quad r\neq 0\,, $

und

$\displaystyle u(x)=-\frac{1}{4\pi}\iiint\limits_{\mathbb{R}^3}\frac{\Delta u(y)} {\vert x-y\vert}\,dy\ . $

für jede glatte Funktion $ u$ mit kompaktem Träger.

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  automatisch erstellt am 5.5.2011