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Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen - Poisson-Gleichung

Poisson-Formel für eine Kugel

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Eine in einer Kugel

$\displaystyle B: r=\vert(x_1,x_2,x_3)\vert<R $

mit Oberfläche $ S$ harmonische und auf $ \bar{B}$ stetige Funktion $ u$ besitzt die Integraldarstellung

$\displaystyle u(x)=\frac{1}{4\pi R}\iint\limits_S\frac{R^2-\vert x\vert^2}{\vert x-y\vert^3}u(y)\,dy \ ,\quad \vert x\vert<R\ . $

Insbesondere gilt die Mittelwerteigenschaft

$\displaystyle u(0,0,0)=\frac{1}{4\pi R^2}\iint\limits_Su(y)\,dy\ . $

Aus der Poisson-Formel folgt, daß harmonische Funktionen im Inneren ihres Definitionsgebietes unendlich oft differenzierbar sind. Desweiteren gilt das Maximumprinzip:

$\displaystyle \min_{\vert y\vert=R}u(y)\leq u(x)\leq \max_{\vert y\vert=R} u(y),\quad \vert x\vert\leq R \,. $

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  automatisch erstellt am 5.5.2011