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Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen - Poisson-Gleichung

Eigenwertproblem für den Laplace-Operator

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Für ein beschränktes Gebiet $ D$ mit glattem Rand $ \partial D$ besitzt das Eigenwertproblem

$\displaystyle -\Delta u = \lambda u\ $   in$\displaystyle \ D,\quad u = 0\ $   auf$\displaystyle \ \partial D, $

Eigenfunktionen $ u_n$, $ n\in\mathbb{N}$, zu Eigenwerten $ \lambda_n>0$, die ein vollständiges Orthonormalsystem im Raum $ L_2(D)$ der quadratisch integrierbaren Funktionen bzgl. des Skalarproduktes

$\displaystyle \langle f,g \rangle = \int_D fg $

bilden.

Für $ f\in L_2(D)$ besitzt jede Lösung der Poisson-Gleichung $ -\Delta u = f$ mit homogenen Randbedingungen die Orthogonalentwicklung

$\displaystyle u = \sum_n \frac{1}{\lambda_n}\langle f,u_n \rangle u_n\,. $

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  automatisch erstellt am 5.5.2011