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Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen - Poisson-Gleichung

Eigenfunktionen des Laplace-Operators auf der Einheitskugel

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Das Eigenwertproblem

$\displaystyle -\Delta u = \lambda u\ (r<1),\quad u=0\ (r=1), $

auf der Einheitskugel $ D:\ r=\vert(x_1,x_2,x_3)\vert<1$ besitzt die Eigenfunktionen

$\displaystyle u_{k,n,m}(r,\vartheta,\varphi) = \frac{J_{n+1/2}(\mu_{n,m}r)}{\s... ...thrm{i}k\varphi}, \quad \vert k\vert\le n\in\mathbb{N}_0,\, m\in\mathbb{N}\,, $

mit $ \mu_{n,m}>0$ den Nullstellen der Bessel-Funktion $ J_{n+1/2}$. Die entsprechenden Eigenwerte sind $ \lambda_{n,m}=\mu_{n,m}^2$.

Die Funktionen $ u_{k,n,m}$ bilden ein vollständiges Orthogonalsystem im Raum $ L_2(D)$ der auf $ D$ quadratintegrierbaren Funktionen bzgl. des Skalarproduktes

$\displaystyle \langle f,g \rangle = \int_D fg\,. $

Insbesondere besitzt jede Lösung der Poisson-Gleichung $ -\Delta u = f$ die Entwicklung

$\displaystyle u = \sum_{m\in\mathbb{N}} \sum_{n\in\mathbb{N}_0} \sum_{\vert k\... ...gle f,u_{k,n,m} \rangle} {\langle u_{k,n,m},u_{k,n,m} \rangle}\, u_{k,n.m} \,. $

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  automatisch erstellt am 5.5.2011