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Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen - Poisson-Gleichung

Eigenfunktionen des Laplace-Operators auf der Einheitskugel


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Das Eigenwertproblem

$\displaystyle -\Delta u = \lambda u\ (r<1),\quad
u=0\ (r=1),
$

auf der Einheitskugel $ D:\ r=\vert(x_1,x_2,x_3)\vert<1$ besitzt die Eigenfunktionen

$\displaystyle u_{k,n,m}(r,\vartheta,\varphi) =
\frac{J_{n+1/2}(\mu_{n,m}r)}{\s...
...thrm{i}k\varphi},
\quad \vert k\vert\le n\in\mathbb{N}_0,\,
m\in\mathbb{N}\,,
$

mit $ \mu_{n,m}>0$ den Nullstellen der Bessel-Funktion $ J_{n+1/2}$. Die entsprechenden Eigenwerte sind $ \lambda_{n,m}=\mu_{n,m}^2$.

Die Funktionen $ u_{k,n,m}$ bilden ein vollständiges Orthogonalsystem im Raum $ L_2(D)$ der auf $ D$ quadratintegrierbaren Funktionen bzgl. des Skalarproduktes

$\displaystyle \langle f,g \rangle = \int_D fg\,.
$

Insbesondere besitzt jede Lösung der Poisson-Gleichung $ -\Delta u = f$ die Entwicklung

$\displaystyle u =
\sum_{m\in\mathbb{N}}
\sum_{n\in\mathbb{N}_0}
\sum_{\vert k\...
...gle f,u_{k,n,m} \rangle}
{\langle u_{k,n,m},u_{k,n,m} \rangle}\, u_{k,n.m}
\,.
$


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  automatisch erstellt am 5.5.2011