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Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen - Wellengleichung

Anfangsrandwertproblem für die eindimensionale Wellengleichung

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Die Lösung der Wellengleichung

$\displaystyle u_{tt}=c^2u_{xx}+f\ ,\quad x\in(0,\pi)\ ,\ t>0 $

für die Anfangs- und Randwerte

$\displaystyle u(x,0)=a(x)\,\quad u_t(x,0)=b(x)\ ,\quad u(0,t)=u(\pi,t)=0 $

lässt sich als Sinus-Reihe darstellen:

$\displaystyle u(x,t)=\sum_{j=1}^\infty u_j(t)\sin(jx) $

mit

$\displaystyle u_j(t)= a_j\cos(jct)+\frac{1}{jc}b_j\sin(jct)+ \frac{1}{jc}\int_0^t\sin(jc(t-s))f_j(s)\,ds\ , $

wobei $ a_j$, $ b_j$, $ f_j(t)$ die Sinus-Koeffizienten von $ a$,$ b$ und $ f(\cdot,t)$ bezeichnen.

(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)
Das Anfangs-Randwertproblem

\begin{displaymath} \begin{array}{rcll} u_{tt}(x,t) & = & c^2u_{xx}(x,t) \\ ... ... & = & a(x)\ ,\quad u_t(x,0)=0 & \quad\text{(A)} \end{array} \end{displaymath}

beschreibt die Auslenkung $ u(x,t)$ einer schwingenden Saite. Die Randbedingungen (R) bedeuten dabei, dass die Saite an den Enden ($ x=0$ und $ x=\pi$ ) fest eingespannt ist. Die Anfangsbedingung (A) beschreibt die anfängliche Auslenkung aus der Ruhelage (,,Anzupfen`` der Saite).

Gemäß der allgemeinen Lösungsformel ist

$\displaystyle u(x,t)=\sum_{j=1}^\infty a_j\cos(jct)\sin(jx) $

mit

$\displaystyle a_j=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi a(x)\sin(jx)\,dx $

den Sinus-Koeffizienten von $ a$ .
\includegraphics[width=.8\linewidth]{Bsp_schwingende_Saite}
Die Abbildung zeigt die Lösung für die Anfangswerte $ a(x)=x^3(\pi-x)$ , die einer mehr zum rechten Ende ,,angezupften`` Saite entsprechen.
(Autor: Kimmerle)
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  automatisch erstellt am 5.5.2011