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Mathematik-Online-Kurs: Partielle Differentialgleichungen - Wellengleichung

Cauchy-Problem für die dreidimensionale Wellengleichung


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Die Lösung des Anfangswertproblems
$\displaystyle u_{tt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2 \Delta_x u\ ,\quad x\in\mathbb{R}^3\ ,\ t\geq 0\ ,$  
$\displaystyle u(x,0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x)$  
$\displaystyle u_t(x,0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b(x)$  

lässt sich in der Form

$\displaystyle u(x,t)=\frac{1}{4\pi c^2t^2}\iint\limits_{\vert y-x\vert=ct}tb(y)+a(y)+
(y-x)^{\operatorname t}{\operatorname{grad}\,} a(y)\,dy
$

darstellen.

\includegraphics[width=0.5\moimagesize]{wellengl.eps}

Insbesondere hängt also $ u(x,t)$ nur von Werten entlang des abgebildeten Lichtkegels ab.


(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)

Für radial symmetrische Anfangswerte

$\displaystyle u(x,0)=\varphi(r)\,,\,u_t(x,0)=\psi(r)\,,\quad r=\vert x\vert\,,
$

gilt für die Lösung der Wellengleichung im Ursprung
$\displaystyle u(0,0,0,t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{4\pi c^2t^2}\iint\limits_{\vert y\vert=ct}tu_t(y,0)+u(y,0)+y^t\operatorname{grad}\,u(y,0)\,dy$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle t\psi(ct)+\varphi(ct)+ct\varphi^\prime(ct)\,.$  

Fallen $ \psi$ oder $ \varphi^\prime$ schwächer als $ 1/r$ ab, so strebt $ u(0,0,0,t)$ gegen unendlich. Dieser Effekt wird als Fokussierung bezeichnet. Singularitäten werden durch die Wellengleichung gebündelt.
(Autor: Kimmerle)

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  automatisch erstellt am 5.5.2011