Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM I-Differentiation-Extrema und Wendepunkte

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	Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM I - Differentiation
	Extrema und Wendepunkte

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Sei $\mbox{$D\subseteq \mathbb{R}$}$ und $\mbox{$f:D\to\mathbb{R}$}$ gegeben. Die Funktion $\mbox{$f$}$ hat bei $\mbox{$x_0\in D$}$ ein lokales Maximum (bzw. lokales Minimum), falls es ein $\mbox{$\varepsilon >0$}$ gibt mit $\mbox{$f(x)\leq f(x_0)$}$ (bzw. $\mbox{$f(x)\geq f(x_0)$}$ ) für alle $\mbox{$x\in B_{\varepsilon }(x_0)\cap D$}$ .

Die Funktion $\mbox{$f$}$ hat bei $\mbox{$x_0\in D$}$ ein globales Maximum (bzw. globales Minimum), falls $\mbox{$f(x)\leq f(x_0)$}$ (bzw. $\mbox{$f(x)\geq f(x_0)$}$ ) für alle $\mbox{$x\in D$}$ .

Die Funktion $\mbox{$f$}$ hat bei $\mbox{$x_0\in D$}$ ein lokales Extremum (bzw. globales Extremum), falls sie bei $\mbox{$x_0$}$ ein lokales Maximum oder lokales Minimum (bzw. globales Maximum oder globales Minimum) hat.

Notwendiges Kriterium.

Sei $\mbox{$x_0$}$ innerer Punkt von $\mbox{$D$}$ , und sei $\mbox{$f:D\to\mathbb{R}$}$ zweimal differenzierbar in $\mbox{$x_0$}$ .

Hat $\mbox{$f$}$ bei $\mbox{$x_0$}$ ein lokales Maximum, so ist $\mbox{$f'(x_0)=0$}$ und $\mbox{$f''(x)\leq 0$}$ .
Hat $\mbox{$f$}$ bei $\mbox{$x_0$}$ ein lokales Minimum, so ist $\mbox{$f'(x_0)=0$}$ und $\mbox{$f''(x)\geq 0$}$ .

Die Funktion $\mbox{$f(x)=x^4$}$ hat bei $\mbox{$x_0=0$}$ ein (echtes) lokales Minimum, aber $\mbox{$f''(x_0)=0$}$ . Dies zeigt, daß die Ungleichungen nicht verschärft werden können.

Die Funktion $\mbox{$f(x)=x^3$}$ erfüllt bei $\mbox{$x_0=0$}$ das notwendige Kriterium $\mbox{$f'(x_0)=0$}$ und $\mbox{$f''(x_0)=0$}$ , aber $\mbox{$f$}$ besitzt in $\mbox{$x_0$}$ weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum.

Die Funktion $\mbox{$f(x)=x$}$ hat auf $\mbox{$D=[0,1]$}$ bei $\mbox{$x_1=0$}$ ein lokales Minimum. Da $\mbox{$x_1$}$ kein innerer Punkt von $\mbox{$D$}$ ist, liefert das notwendige Kriterium keine Aussage.

Hinreichendes Kriterium.

Sei $\mbox{$f$}$ zweimal differenzierbar in $\mbox{$x_0$}$ .

Ist $\mbox{$f'(x_0)=0$}$ und $\mbox{$f''(x)< 0$}$ , so hat $\mbox{$f$}$ bei $\mbox{$x_0$}$ ein lokales Maximum.
Ist $\mbox{$f'(x_0)=0$}$ und $\mbox{$f''(x)> 0$}$ , so hat $\mbox{$f$}$ bei $\mbox{$x_0$}$ ein lokales Minimum.

Existenzgarantie.

Sei $\mbox{$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$}$ stetig. Dann gibt es $\mbox{$x_0,x_1\in[a,b]$}$ so, daß $\mbox{$f$}$ bei $\mbox{$x_0$}$ ein globales (und damit auch lokales) Maximum und bei $\mbox{$x_1$}$ ein globales (und damit auch lokales) Minimum besitzt.

Wendepunkte.

Sei $\mbox{$f:D\to\mathbb{R}$}$ differenzierbar. Die Funktion $\mbox{$f$}$ hat bei $\mbox{$x_0\in D$}$ einen Wendepunkt, falls $\mbox{$f'$}$ bei $\mbox{$x_0$}$ ein lokales Extremum besitzt. Die obigen Überlegungen gelten alle analog für $\mbox{$f'(x)$}$ , wobei ein Maximum von $\mbox{$f'$}$ einer 'Links-Rechts'-Kurve und ein Minimum einer 'Rechts-Links'-Kurve des Graphen von $\mbox{$f$}$ entspricht.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Beispiele

Aufgaben

automatisch erstellt am 18.6.2004